Článok sa zameriava na vzťahy medzi rotačným valcom a guľou, ktorá je mu opísaná. Vysvetlíme si základné pojmy, vzorce pre výpočet objemu a povrchu valca a gule, a nakoniec sa pozrieme na špecifický prípad, keď je guľa opísaná rotačnému valcu.
Základné pojmy
- Rotačný valec: Teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.
- Guľa: Teleso, ktorého povrch tvoria všetky body v priestore, ktoré sú rovnako vzdialené od daného pevného bodu (stredu gule). Vzdialenosť od stredu ku ktorémukoľvek bodu na povrchu gule sa nazýva polomer (r).
- Opísaná guľa: Guľa, ktorá obsahuje všetky vrcholy daného telesa (v našom prípade rotačného valca) na svojom povrchu.
Vzorce pre rotačný valec
Pre rotačný valec s polomerom podstavy r a výškou v platí:
- Objem (V): V = Sp * v, kde Sp je obsah podstavy. Keďže podstava je kruh, Sp = πr². Teda, objem valca je V = πr²v.
- Povrch (S): S = 2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy a Spl je obsah plášťa. Obsah podstavy je πr², a obsah plášťa je obvod podstavy krát výška, teda 2πrv. Teda, povrch valca je S = 2πr² + 2πrv = 2πr(r + v).
Vzorce pre guľu
Pre guľu s polomerom R platí:
- Objem (V): V = (4/3)πR³
- Povrch (S): S = 4πR²
Vzťah medzi rotačným valcom a opísanou guľou
Ak je guľa opísaná rotačnému valcu, znamená to, že všetky vrcholy valca ležia na povrchu gule. V tomto prípade existuje geometrický vzťah medzi polomerom valca (r), výškou valca (v) a polomerom gule (R).
Výpočet polomeru opísanej gule:
Predstavme si rez valca a gule rovinou, ktorá prechádza stredom gule a osou valca. V reze dostaneme kruh (rez gule) a obdĺžnik (rez valca). Uhlopriečka tohto obdĺžnika je priemer kruhu (2R). Polovica tejto uhlopriečky je polomer gule (R). Pomocou Pytagorovej vety môžeme odvodiť vzťah:
Prečítajte si tiež: Výber rotačného grilu do rúry
(2R)² = v² + (2r)²
4R² = v² + 4r²
R² = (v² + 4r²) / 4
R = √((v² + 4r²) / 4) = √(v² + 4r²) / 2
Tento vzorec nám umožňuje vypočítať polomer gule, ktorá je opísaná rotačnému valcu, ak poznáme polomer a výšku valca.
Príklad
Majme rotačný valec s polomerom podstavy r = 3 cm a výškou v = 8 cm. Aký je polomer gule, ktorá je opísaná tomuto valcu?
Prečítajte si tiež: Klasické a inovatívne recepty na gril
Použijeme vzorec:
R = √(v² + 4r²) / 2
R = √(8² + 4 * 3²) / 2
R = √(64 + 36) / 2
R = √100 / 2
Prečítajte si tiež: Ako pripraviť hovädziu rolku
R = 10 / 2
R = 5 cm
Polomer gule, ktorá je opísaná danému valcu, je 5 cm.