Úvod
Geometria je oblasť matematiky zaoberajúca sa štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Rozvíja našu priestorovú predstavivosť a pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás. Jednou z jej poddisciplín je štúdium priestorových útvarov, medzi ktoré patrí aj ihlan. Tento článok sa zameriava na rezy rovnostranného ihlana, ich výpočet a súvisiace geometrické pojmy.
Geometrické Základy
Priestorová predstavivosť
Priestorová predstavivosť je kľúčová pre vnímanie a porozumenie tvarom okolo nás. Využívame ju v každodennom živote pri orientácii, práci s mapami a pri zobrazovaní 3D objektov v 2D priestore.
Nárys, Pôdorys, Bokorys
Na dvojrozmerné zakreslenie trojrozmerných objektov sa používa pravouhlé premietanie z prednej, bočnej a hornej strany, známe ako nárys, bokorys a pôdorys.
Sieť Telesa
Sieť telesa je rovinné zakreslenie, z ktorého je možné poskladať plášť telesa. Sieť telesa je väčšinou možné zakresliť mnohými rôznymi spôsobmi.
Rezy Telies
Rezy Kocky
Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť. Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu. Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach. Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín. Body K, M ležia v jednej rovine - v prednej stene ABFE. Rovnako tak body L, M ležia v jednej rovine - v dolnej stene ABCD. Bod K leží v hornej stene EFGH. Tá je rovnobežná so stenou ABCD.
Prečítajte si tiež: Luxusné rezy s mascarpone
Rezy Všeobecne
Zostrojiť rez telesa znamená zostrojiť prienik roviny a telesa. Keď poznáme jednu stranu rezu, môžeme ju pretiahnuť do ostatných stien. Priesečníky s ostatnými stenami určíme tak, že pretiahneme spoločnú hranu steny, kde leží známa úsečka rezu a steny, v ktorej chceme rez nájsť. Zovšeobecnením tohto princípu je tzv. Nájdeme priesečnicu roviny podstavy a roviny rezu. V stene BCV leží hrana podstavy BC a úsečka LM. Rovnakým spôsobom získame spoločný bod Q troch rovín: roviny steny ABV, roviny podstavy a roviny rezu. Pretiahnutím hrany AD získame na priesečnici bod R. Rezom gule je vždy kružnica.
Metódy Konštrukcie Rezov
Pri konštrukcii rezov telies sa využívajú geometrické princípy a vety. Dôležité je poznať vzájomnú polohu rovín a priamok, ako aj vlastnosti rovnobežných a rôznobežných rovín.
Ihlan
Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Objem ihlanu V = \frac{1}{3} Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov.
Rovnostranný Ihlan
Rovnostranný ihlan je špeciálny prípad ihlanu, ktorého všetky steny sú rovnostranné trojuholníky. Inými slovami, podstava je rovnostranný trojuholník a všetky bočné steny sú tiež rovnostranné trojuholníky zhodné s podstavou.
Výpočet Objemu a Povrchu Ihlanu
Objem ihlanu sa vypočíta pomocou vzorca V = \frac{1}{3} Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy a v je výška ihlanu. Povrch ihlanu sa vypočíta ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa.
Prečítajte si tiež: Ako upiecť Londýnske rezy
Príklady Výpočtov
Pre lepšie pochopenie si ukážeme niekoľko príkladov výpočtu objemu a povrchu ihlanu.
- Príklad 1: Mám ihlan so štvorcovou základňou. Jeho povrch je 342 cm2. Aká je dĺžka hrany kocky?
- Príklad 2: Aký je objem kužeľa? Strana zviera s rovinou podstavy uhol 58°.
Rovinné Útvary
Trojuholník
Trojuholník je základný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy a tri strany. Výška v_a je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A. Pojmy súvisiace s trojuholníkom (napr. Konštrukčné úlohy s trojuholníkmi (narysovanie trojuholníkov na základe zadaných údajov, napr.
Pytagorova Veta
Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami. Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}. Pytagorejské trojice sú trojice celých čísel, ktoré spĺňajú a^2+b^2=c^2, teda trojuholník s príslušnými dĺžkami strán je pravouhlý. Ďalšie príklady pytagorejských trojíc: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Medzi pytagorejské trojice patria tiež všetky násobky týchto trojíc, napr. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). V prípade štvorca so stranou a tvorí uhlopriečka preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkou a. Pre dĺžku uhlopriečky u teda platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. V prípade rovnostranného trojuholníka so stranou a tvorí výška odvesnu pravouhlého trojuholníka s preponou s dĺžkou a a odvesnou s dĺžkou \frac{a}{2}. Pre dĺžku výšky v teda platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostávame v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}.
Štvoruholníky
Obdĺžnik patrí medzi štvoruholníky. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné. Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán.
Kruh a Kružnica
Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r. Kruh s daným stredom S a polomerom r je tvorený všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o r. Kruh s daným stredom a polomerom je teda zjednotenie kružnice s rovnakým stredom a polomerom a jej vnútornou oblasťou. Stred S kruhu je bod, ktorý patrí do kruhu. Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Konštanta \pi sa tiež nazýva Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že nejde vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcom pre výpočet obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Majme kruh s polomerom 3 cm. Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metra. Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Obsah kruhu s polomerom r je S=\pi r^2. Konštanta \pi sa nazýva tiež Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že ho nie je možné vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obsahu a obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcami na výpočet obsahu a obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Žlté štvorce majú obsah r^2. Oranžový štvorec sa skladá zo štyroch žltých štvorcov, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový štvorec, čo zodpovedá tomu, že obsah kruhu je približne 3{,}14 \cdot r^2. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Majme kruh s polomerom 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm. Kružnica s priemerom 2 cm má obvod \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm. Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metru. Ak ho chceme obísť po jeho okrajovej čiare, prejdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrov.
Prečítajte si tiež: Obľúbený zákusok s chuťou detstva
Priestorové Útvary
Kocka a Kváder
Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac). Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom.
Hranol
Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol. Objem hranola vypočítame podobne ako pri hranole V=Sp \cdot v, kde Sp je obsah kruhovej podstavy. Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom Sp a plášť s obsahom S{pl}, vypočítame ako S=2Sp + S{pl}. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot Sp+S{pl}. Platí S=2Sp + S{pl}, kde S_p je obsah podstav… cm a jednou odvesnou dlhou 3 cm.
Valec
Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=Sp \cdot v, kde Sp je obsah kruhovej podstavy. Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot Sp + S{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy).
Guľa
Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie.
Kužeľ
Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Zužuje sa smerom k jednému bodu zvanému vrchol. Ide o útvar, ktorý vznikne, keď sa okolo svojej osi otáča rovnoramenný trojuholník. Povrch kužeľa získame sčítaním obsahu základne a obsahu plášťa S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r s, kde s je tzv.
Uhly
Určovanie Uhlov
Uhly sú dôležitou súčasťou geometrie a trigonometrie. Používajú sa na meranie rotácie a orientácie objektov.
Uhly v Trojuholníku a Štvoruholníku
Súčet uhlov v trojuholníku je vždy 180°. V štvoruholníku je súčet uhlov 360°.
Uhly a Kružnice
Existujú špecifické vzťahy medzi uhlami a kružnicami, napríklad stredový uhol a obvodový uhol.
Geometrické Konštrukcie
Základné Konštrukcie
Medzi základné geometrické konštrukcie patrí konštrukcia rovnobežiek, kolmíc a osí uhlov.
Konštrukčné Úlohy s Trojuholníkmi
Konštrukčné úlohy s trojuholníkmi zahŕňajú narysovanie trojuholníkov na základe zadaných údajov, napríklad dĺžok strán a uhlov.
Operácie a Vlastnosti v Rovine
Súmernosť
Osová a stredová súmernosť sú geometrické transformácie, ktoré zachovávajú vzdialenosti a uhly.
Zhodnosť a Podobnosť
Zhodné útvary majú rovnaký tvar a veľkosť. Podobné útvary majú rovnaký tvar, ale rôznu veľkosť.
Analytická Geometria
Body a Súradnice
V analytickej geometrii sa body v rovine a priestore popisujú pomocou súradníc.
Vzdialenosť Bodov a Úsečky
Vzorec na výpočet vzdialenosti dvoch bodov v rovine je \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}.
Vektory
Vektory sa používajú na popis smeru a veľkosti.
Priamky a Roviny
Priamky a roviny sa v analytickej geometrii popisujú pomocou rovníc.
Kužeľosečky
Kužeľosečky sú krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľového povrchu s rovinou. Medzi kužeľosečky patrí kružnica, elipsa, parabola a hyperbola.
Objem a Povrch Telies
Všeobecné Princípy
Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa.
Objem a Povrch Kocky a Kváderu
Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien.
Objem a Povrch Hranola
Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom Sp a plášť s obsahom S{pl}, vypočítame ako S=2Sp + S{pl}.
Objem a Povrch Ihlanu
Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}Sp\cdot v. Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy Sp a obsahu jeho plášťa S_{pl}.
Objem a Povrch Valca
Platí V=Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy valca.
Objem a Povrch Kužeľa
Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy valca.
Objem a Povrch Gule
Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
Príklady a Aplikácie
Praktické Príklady
Geometria má široké uplatnenie v praxi, napríklad v architektúre, stavebníctve, strojárstve a grafike.
Riešené Úlohy
Pre lepšie pochopenie geometrických princípov si ukážeme niekoľko riešených úloh.
- Príklad 1: Trojuholník ABC: Dĺžka strany \left| AB \right| je 2. Veľkosť k nej príslušnej výšky vc je 3. Trojuholník DEF: Nevadí nám, že trojuholník na náčrtku vyzerá zvláštne natočený. Poznáme dĺžku strany \left| DE \right|, čo je 3. Veľkosť k nej príslušnej výšky vf je 4. Trojuholník GHI: Nevadí nám ani keď je päta kolmice, na ktorej leží výška, mimo stranu trojuholníka. Dĺžka strany \left| GH \right| je 1. Veľkosť k nej príslušnej výšky vi je 2. Trojuholník JKL: S pravouhlým trojuholníkom si tiež poradíme. Dĺžka strany \left| JK \right| je 4. Veľkosť k nej príslušnej výšky vl je 3 (a je to zároveň aj dĺžka strany KL nášho trojuholníka).
- Príklad 2: Vypočítajte hmotnosť dvojvypuklej sklenenej šošovky (ρ =3,5 g.cm-3), ktorej priemer je 10 cm a hrúbka 1,2 cm.
- Príklad 3: Rovinný rez gule má dĺžku l = 125,6 cm. Vzdialenosť rezu od stredu gule je v = 6 cm. Určite polomer gule a jej objem.
- Príklad 4: Aká je hmotnosť dutej mosadznej gule (ρ = 8,5 g.cm-3), ak vonkajší priemer je D = 12 cm a hrúbka steny je h = 2 mm.
- Príklad 5: Aká je hmotnosť dutej mosadznej gule (ρ = 8,5 g.cm-3), ak vonkajší priemer je D = 12 cm a hrúbka steny je h = 2 mm.