Výpočet objemu a povrchu telies: Gúľa, valec a ich vzájomné vzťahy

sabor peruano
Rate this post

Tento článok sa zaoberá problematikou výpočtu obvodov a obsahov gule, pričom sa zameriava na vzťahy medzi rotačným valcom a guľou, ktorá je mu opísaná. Vysvetlíme si základné pojmy, vzorce pre výpočet objemu a povrchu valca a gule. Nakoniec sa pozrieme na špecifický prípad, keď je guľa opísaná rotačnému valcu.

Základné geometrické pojmy

Pre lepšie pochopenie problematiky je dôležité definovať si základné geometrické pojmy:

  • Rotačný valec: Teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.
  • Guľa: Teleso, ktorého povrch tvoria všetky body v priestore, ktoré sú rovnako vzdialené od daného pevného bodu (stredu gule). Vzdialenosť od stredu ku ktorémuľvek bodu na povrchu gule sa nazýva polomer (r).
  • Opísaná guľa: Guľa, ktorá obsahuje všetky vrcholy daného telesa (v našom prípade rotačného valca) na svojom povrchu.

Vzorce pre rotačný valec

Pre rotačný valec s polomerom podstavy r a výškou v platí:

  • Objem (V): V = Sp * v, kde Sp je obsah podstavy. Keďže podstava je kruh, Sp = πr². Teda, objem valca je V = πr²v.
  • Povrch (S): S = 2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy a Spl je obsah plášťa. Obsah podstavy je πr², a obsah plášťa je obvod podstavy krát výška, teda 2πrv. Teda, povrch valca je S = 2πr² + 2πrv = 2πr(r + v).

Vzorce pre guľu

Pre guľu s polomerom R platí:

  • Objem (V): V = (4/3)πR³
  • Povrch (S): S = 4πR²

Vzťah medzi rotačným valcom a opísanou guľou

Ak je guľa opísaná rotačnému valcu, znamená to, že všetky vrcholy valca ležia na povrchu gule.

Prečítajte si tiež: Luxusné rezy s mascarpone

Výpočet polomeru opísanej gule

Predstavme si rez valca a gule rovinou, ktorá prechádza stredom gule a osou valca. V reze dostaneme kruh (rez gule) a obdĺžnik (rez valca). Uhlopriečka tohto obdĺžnika je priemer kruhu (2R). Polomer opísanej gule sa dá vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

R = √((v² + 4r²) / 4) = √(v² + 4r²) / 2

Tento vzorec nám umožňuje vypočítať polomer gule, ktorá je opísaná rotačnému valcu, ak poznáme polomer a výšku valca.

Príklad

Majme rotačný valec s polomerom podstavy r = 3 cm a výškou v = 8 cm.

Objem a povrch telies

Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa.

Prečítajte si tiež: Ako upiecť Londýnske rezy

Objem hranatých telies

Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom.

Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=(1/3)Sp*v.

Pre valec platí V=Sp * v, kde Sp je obsah podstavy valca. Pre kužeľ platí V=(1/3) Sp * v, kde Sp je obsah podstavy valca.

Objem guľatých telies

Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14159265.

Povrch hranatých telies

Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom.

Prečítajte si tiež: Obľúbený zákusok s chuťou detstva

Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom Sp a plášť s obsahom Spl vypočítame ako S=2Sp + Spl. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2 * Sp+Spl.

Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy Sp a obsahu jeho plášťa Spl.

Povrch guľatých telies

Platí S=2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy valca a Spl obsah plášťa valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2πr. Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14159265. Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s.

História výpočtov objemov a povrchov

Výpočty objemov a povrchov telies majú bohatú históriu, ktorá siaha až do staroveku.

Staroveký Egypt

Egyptská civilizácia patrí medzi najstaršie. Jej vývoj bol dlhé storočia ovplyvňovaný teplým podnebím, púšťou a záplavami Nílu. Práve vymeriavanie pozemkov, ktoré boli každoročne zaplavované Nílom, viedlo k potrebám geometrie (gé - zem, metrein - merať) a k prvým geometrickým výpočtom egyptskej matematiky. Úlohy o obsahu kruhu sú uvedené na Londýnskom papyruse, kde d je priemer kruhu. Na výpočet objemu používali štandardný postup - obsah kruhovej podstavy vynásobili výškou. Zaujímavé je, že v zachovaných textoch nenájdeme úlohy na obvod kruhu a iba jednu úlohu, ktorú možno interpretovať ako výpočet štvrtiny plášťa valca s daným priemerom a výškou. Taktiež nevieme ako a či vôbec, Egypťania počítali objem a povrch kužeľa a gule.

Staroveká Mezopotámia

V starovekej Mezopotámií, území medzi Eufratom a Tigrisom, dosiahla matematika vysoký stupeň rozvoja už 2000 rokov pred n. l. K vypočítaniu obsahu kruhu S, kde o je obvod kruhu, ktorý bol počítaný pomocou vzorca: o = π.d ,v ktorom π je konštanta. Objem valca V počítali "štandardným spôsobom", t. j. vynásobili obsah podstavy S výškou telesa h. Na rozdiel od zachovaných egyptských textov, v babylonských zápisoch nájdeme aj úlohy vypočítať objem zrezaného kužeľa, kde o1, o2 sú obvody, S1, S2 sú obsahy podstáv a h je výška.

Staroveká Čína

Najstaršie správy o čínskej matematike sú z polovice druhého tisícročia pred n. l. a týkajú sa predovšetkým skúmania kalendára. V prvej knihe „Matematiky v deviatich knihách“ sa nachádzajú pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov, medzi inými aj kruhu, kruhového výseku, odseku a medzikružia. Pri výpočtoch o obsahu kruhu používali hodnotu π=3. Táto istá hodnota sa vyskytuje aj pri výpočtoch objemov valca, kužeľa a zrezaného kužeľa.

Staroveká India

Matematika sa v starovekej Indii považovala za jednu z najdôležitejších vied. Najstarším dielom v súvislosti s matematikou bolo „Šalvasútra“ - Matematika v knihách, ktoré vzniklo v 7. - 5. storočí pred n. l. V súvislosti s poznatkami o kruhu a niektorých rotačných telesách je významné dielo „Árjabhattíja“ z roku 499 (veršovaný astronomický a matematický traktát), ktorého autorom bol 23 ročný Árjabhatta I. Popri niektorých dômyselných postupoch v tomto diele uviedol aj pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov a objemov telies. Zaujímavá je závislosť medzi obsahom kruhu S, jeho obvodom o a priemerom d: a aj nesprávny vzorec pre výpočet objemu gule , ktorý je vyjadrený pomocou obsahu S hlavného kruhu (Pozn: kruh na guli so stredom v jej strede, napr. na zemeguli je to rovník a každý poludník). Vzorec na výpočet objemu gule, bol po Árjabhattovi neskôr značne vylepšený a opravený, čo viedlo aj k presnejšej aproximácii hodnoty π.

Antické Grécko

Významný kvalitatívny zlom v porovnaní s matematikou v starovekom Egypte a Mezopotámií nastal v antike, kedy na pobreží Malej Ázie začala byť matematika vedou. Kým predgrécka matematika bola prevažne aritmetická a výpočtová, v Grécku došlo ku jej geometrizácii a všetky úlohy sa riešili využívaním poznatkov elementárnej geometrie. ARCHIMEDES (287 - 212 pred n. V spise O metóde sa venoval o. i. výpočtom objemov rotačných telies a ich častí. Dokázal, že objem rotačného valca opísaného guli (resp. rotačnému elipsoidu) sa rovná 3/2 - násobku objemu gule (resp. elipsoidu), odvodil výsledky pre objemy odsekov rotačných telies rovinou kolmou na os pre guľu, rotačný elipsoid, paraboloid i rotačný dvojdielny hyperboloid, určil objem rotačného valca a telesa, ktoré z neho oddelí rotačný valec s tým istým polomerom, osou rôznobežnou s osou daného valca a na ňu kolmou. V spise O valci a guli Archimedes dokázal, že i pomer prvkov rotačného valca (opísaného guli) a tejto gule sa rovná 3:2.

Pravdepodobnosť súčtu na kockách

Aká je pravdepodobnosť, že na troch hracích kockách padne súčet rovný číslu 11. Riešte čiastkové úlohy "Vypíšte všetky možnosti pre prípad, že na kockách bude súčet 1+4+6 a súčet 1+5+5.

Geometria v praxi

Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Geometria rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov.

Priestorová predstavivosť a úlohy s kockami

  • Presúvanie kartičiek na správne miesto. Jednoduché ovládanie, zaujímavé a neotrepané úlohy.
  • Sieť kocky ťažké
  • Sieť kocky (ťažké) • FHZTypicky zaberie: 16 min
  • Rezy kocky ľahké
  • Rezy kocky (ľahké) • FLDTypicky zaberie: 7 min

Rovinné útvary a Pytagorova veta

  • Trojuholník
  • Pytagorova veta
  • Pytagorova veta: základné použitie ľahké
  • Pytagorova veta: základné použitie (ľahké) • FLCTypicky zaberie: 7 min
  • strednéPytagorova veta: základné použitie (stredné) • FGETypicky zaberie: 9 min
  • ťažkéPytagorova veta: základné použitie (ťažké) • G2UTypicky zaberie: 8 min
  • Pytagorova veta: aplikácie stredné
  • Pytagorova veta: aplikácie (stredné) • FR9Typicky zaberie: 9 min

Obsah a obvod

  • Obsah
  • Obsah kruhu stredné
  • Obsah kruhu (stredné) • FPKTypicky zaberie: 10 min
  • ťažkéObsah kruhu (ťažké) • FRMTypicky zaberie: 11 min
  • Obsah: mix stredné
  • Obsah: mix (stredné) • FGBTypicky zaberie: 12 min

Objem a povrch

  • Objem
  • Objem hranatých telies
  • Objem kocky a kvádra stredné
  • Objem kocky a kvádra (stredné) • FSLTypicky zaberie: 10 min
  • Objem hranola a ihlanu stredné
  • Objem hranola a ihlanu (stredné) • FPNTypicky zaberie: 10 min
  • Objem okrúhlych telies stredné
  • Objem okrúhlych telies (stredné) • FP6Typicky zaberie: 12 min

Povrch

  • Povrch hranatých telies
  • Povrch kocky a kvádra stredné
  • Povrch kocky a kvádra (stredné) • FPTTypicky zaberie: 11 min
  • Povrch hranola a ihlanu stredné
  • Povrch hranola a ihlanu (stredné) • FSOTypicky zaberie: 8 min
  • Povrch okrúhlych telies stredné
  • Povrch okrúhlych telies (stredné) • FSJTypicky zaberie: 5 min

Uhly

  • Uhly v trojuholníku stredné
  • Uhly v trojuholníku (stredné) • FGGTypicky zaberie: 8 min
  • ťažkéUhly v trojuholníku (ťažké) • G2VTypicky zaberie: 6 min
  • Uhly vo štvoruholníku stredné
  • Uhly vo štvoruholníku (stredné) • FPCTypicky zaberie: 10 min
  • Uhly a kružnice stredné
  • Uhly a kružnice (stredné) • FO9Typicky zaberie: 7 min

Operácie a vlastnosti v rovine

  • Stredová súmernosť stredné
  • Stredová súmernosť (stredné) • FGFTypicky zaberie: 7 min
  • ťažkéStredová súmernosť (ťažké) • GUXTypicky zaberie: 7 min
  • Zhodnosť stredné
  • Zhodnosť (stredné) • FP4Typicky zaberie: 5 min
  • Podobnosť stredné
  • Podobnosť (stredné) • FPOTypicky zaberie: 9 min
  • Podobnosť na mriežke stredné
  • Podobnosť na mriežke (stredné) • FP9Typicky zaberie: 9 min

Analytická geometria

  • Body
  • Súradnice bodov v rovine stredné
  • Súradnice bodov v rovine (stredné) • GJMTypicky zaberie: 5 min
  • Súradnice bodov v priestore stredné
  • Súradnice bodov v priestore (stredné) • GJ3Typicky zaberie: 6 min
  • Vzdialenosť bodov v rovine stredné
  • Vzdialenosť bodov v rovine (stredné) • GKPTypicky zaberie: 5 min
  • Vzdialenosť bodov v priestore stredné
  • Vzdialenosť bodov v priestore (stredné) • GLOTypicky zaberie: 5 min
  • Úsečky
  • Dĺžka úsečky v rovine stredné
  • Dĺžka úsečky v rovine (stredné) • GMATypicky zaberie: 5 min
  • Dĺžka úsečky v priestore stredné
  • Dĺžka úsečky v priestore (stredné) • GMVTypicky zaberie: 5 min
  • Vektory
  • Súradnice vektorov stredné
  • Súradnice vektorov (stredné) • GKVTypicky zaberie: 7 min
  • Veľkosť vektorov
  • Veľkosť vektorov v rovine stredné
  • Veľkosť vektorov v rovine (stredné) • GKZTypicky zaberie: 5 min
  • Priamky
  • Parametrické rovnice priamky v rovine stredné
  • Parametrické rovnice priamky v rovine (stredné) • GLXTypicky zaberie: 5 min
  • Všeobecná rovnica priamky v rovine stredné
  • Všeobecná rovnica priamky v rovine (stredné) • GMWTypicky zaberie: 5 min
  • Kužeľosečky
  • Kružnica (kužeľosečka)
  • Kružnica: stredová rovnica stredné
  • Kružnica: stredová rovnica (stredné) • GN1Typicky zaberie: 5 min
  • Elipsa
  • Elipsa: stredová rovnica stredné
  • Elipsa: stredová rovnica (stredné) • GOWTypicky zaberie: 5 min
  • Parabola
  • Parabola: rovnica stredné
  • Parabola: rovnica (stredné) • GSMTypicky zaberie: 10 min
  • Hyperbola
  • Hyperbola: stredová rovnica stredné
  • Hyperbola: stredová rovnica (stredné) • GSATypicky zaberie: 5 min
  • Kužeľosečky: mix
  • Rovnice kužeľosečiek ťažké
  • Rovnice kužeľosečiek (ťažké) • FKMTypicky zaberie: 5 min

Rozhodovačka

Rýchle precvičovanie výberom z dvoch možností.

Priestorová predstavivosť: 3D objekty

  • Drôtik v priehľadnom objekte ľahké
  • Drôtik v priehľadnom objekte (ľahké) • FEUTypicky zaberie: 3 min
  • strednéDrôtik v priehľadnom objekte (stredné) • FJ3Typicky zaberie: 4 min

Nárys, pôdorys, bokorys

  • Nárys a pôdorys stredné
  • Nárys a pôdorys (stredné) • FHDTypicky zaberie: 4 min

Sieť kocky

  • strednéSieť kocky (stredné) • E3RTypicky zaberie: 9 min
  • Siete kocky ťažké
  • Siete kocky (ťažké) • FGRTypicky zaberie: 12 min
  • Siete telies stredné
  • Siete telies (stredné) • EGSTypicky zaberie: 4 min

Rezy telies

  • strednéRezy telies (stredné) • FLOTypicky zaberie: 6 min

Priestorová predstavivosť: mix

  • strednéPriestorová predstavivosť: mix (stredné) • E34Typicky zaberie: 7 min

Geometrické pojmy

  • Pojmy súvisiace s uhlami
  • Dvojice uhlov: vrcholové a vedľajšie uhly stredné
  • Dvojice uhlov: vrcholové a vedľajšie uhly (stredné) • G9UTypicky zaberie: 5 min
  • Dvojice uhlov: striedavé a súhlasné uhly stredné
  • Dvojice uhlov: striedavé a súhlasné uhly (stredné) • G9VTypicky zaberie: 5 min
  • Pojmy: dvojice uhlov stredné
  • Pojmy: dvojice uhlov (stredné) • ENFTypicky zaberie: 5 min
  • Pojmy súvisiace s trojuholníkom ľahké
  • Pojmy súvisiace s trojuholníkom (ľahké) • EM3Typicky zaberie: 5 min
  • Pojmy súvisiace s kružnicou
  • Pojmy súvisiace s kružnicou ľahké
  • Pojmy súvisiace s kružnicou (ľahké) • EM2Typicky zaberie: 4 min

Pytagorova veta: aplikácie v 3D

  • ťažkéPytagorova veta: aplikácie v 3D (ťažké) • FPFTypicky zaberie: 5 min

Kruh a kružnica

  • ľahkéKruh a kružnica (ľahké) • GALTypicky zaberie: 4 min
  • Vzájomná poloha dvoch kružníc stredné
  • Vzájomná poloha dvoch kružníc (stredné) • GEFTypicky zaberie: 5 min

Priestorové útvary

  • Hranol
  • Hranol: pojmy a vzorce stredné
  • Hranol: pojmy a vzorce (stredné) • GWGTypicky zaberie: 6 min
  • ťažkéHranol: pojmy a vzorce (ťažké) • GWHTypicky zaberie: 5 min
  • Ihlan
  • Ihlan: pojmy a vzorce stredné
  • Ihlan: pojmy a vzorce (stredné) • GWLTypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéIhlan: pojmy a vzorce (ťažké) • GWMTypicky zaberie: 5 min
  • Valec
  • Valec: pojmy a vzorce stredné
  • Valec: pojmy a vzorce (stredné) • GWPTypicky zaberie: 6 min
  • ťažkéValec: pojmy a vzorce (ťažké) • GWRTypicky zaberie: 5 min
  • Guľa
  • Guľa: pojmy a vzorce stredné
  • Guľa: pojmy a vzorce (stredné) • GWSTypicky zaberie: 4 min
  • ťažkéGuľa: pojmy a vzorce (ťažké) • GWTTypicky zaberie: 5 min
  • Kužeľ
  • Kužeľ: pojmy a vzorce stredné
  • Kužeľ: pojmy a vzorce (stredné) • GWNTypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéKužeľ: pojmy a vzorce (ťažké) • GWOTypicky zaberie: 5 min

Obsah (na mriežke)

  • Obsah trojuholníka (na mriežke) ľahké
  • Obsah trojuholníka (na mriežke) (ľahké) • GEUTypicky zaberie: 3 min
  • Obsah rovnobežníka (na mriežke) ľahké
  • Obsah rovnobežníka (na mriežke) (ľahké) • GFCTypicky zaberie: 4 min
  • Obsah lichobežníka (na mriežke) ľahké
  • Obsah lichobežníka (na mriežke) (ľahké) • GFJTypicky zaberie: 3 min
  • Obsah kruhového výseku (na mriežke) ľahké
  • Obsah kruhového výseku (na mriežke) (ľahké) • GDCTypicky zaberie: 5 min

Dĺžka a obvod

  • Obvod rovnobežníka ľahké
  • Obvod rovnobežníka (ľahké) • GE7Typicky zaberie: 6 min
  • strednéObvod rovnobežníka (stredné) • GE9Typicky zaberie: 9 min
  • ťažkéObvod rovnobežníka (ťažké) • GOLTypicky zaberie: 5 min
  • Obvod lichobežníka ľahké
  • Obvod lichobežníka (ľahké) • GFETypicky zaberie: 7 min
  • strednéObvod lichobežníka (stredné) • GFFTypicky zaberie: 8 min
  • Dĺžka oblúka stredné
  • Dĺžka oblúka (stredné) • GAATypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéDĺžka oblúka (ťažké) • GABTypicky zaberie: 5 min

Obvod: mix

  • Obvod: pravidelné mnohouholníky stredné
  • Obvod: pravidelné mnohouholníky (stredné) • GB7Typicky zaberie: 5 min

Obsah

  • Obsah rovnobežníka stredné
  • Obsah rovnobežníka (stredné) • GFATypicky zaberie: 6 min
  • ťažkéObsah rovnobežníka (ťažké) • GFBTypicky zaberie: 9 min
  • Obsah lichobežníka stredné
  • Obsah lichobežníka (stredné) • GFGTypicky zaberie: 7 min
  • ťažkéObsah lichobežníka (ťažké) • GFHTypicky zaberie: 5 min
  • Obsah kruhového výseku ťažké
  • Obsah kruhového výseku (ťažké) • GAWTypicky zaberie: 5 min

Obsah: kombinácie útvarov

  • Obsah šedej oblasti stredné
  • Obsah šedej oblasti (stredné) • FPPTypicky zaberie: 5 min

Obsah: mix

  • strednéObsah: mix (stredné) • EJ3Typicky zaberie: 9 min
  • Obsah na mriežke: trojuholník, rovnobežník, lichobežník ľahké
  • Obsah na mriežke: trojuholník, rovnobežník, lichobežník (ľahké) • GASTypicky zaberie: 4 min

Obsah, obvod: mix

  • Obsah, obvod: vzorce, princípy stredné
  • Obsah, obvod: vzorce, princípy (stredné) • E46Typicky zaberie: 6 min
  • ťažkéObsah, obvod: vzorce, princípy (ťažké) • FOWTypicky zaberie: 5 min

Objem hranola

  • strednéObjem hranola (stredné) • GBETypicky zaberie: 9 min

Objem ihlanu

  • strednéObjem ihlanu (stredné) • GBFTypicky zaberie: 5 min

Objem hranatých telies

  • strednéObjem hranatých telies (stredné) • GBGTypicky zaberie: 18 min

Objem valca

  • strednéObjem valca (stredné) • GC9Typicky zaberie: 8 min
  • ťažkéObjem valca (ťažké) • GBHTypicky zaberie: 5 min

Objem kužeľa

  • strednéObjem kužeľa (stredné) • GDATypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéObjem kužeľa (ťažké) • GBJTypicky zaberie: 5 min

Objem gule

  • strednéObjem gule (stredné) • GC4Typicky zaberie: 6 min
  • ťažkéObjem gule (ťažké) • GBCTypicky zaberie: 5 min

Objem okrúhlych telies

  • strednéObjem okrúhlych telies (stredné) • GDBTypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéObjem okrúhlych telies (ťažké) • GBBTypicky zaberie: 5 min

Povrch hranola

  • strednéPovrch hranola (stredné) • GBXTypicky zaberie: 8 min
  • ťažkéPovrch hranola (ťažké) • GD9Typicky zaberie: 5 min

Povrch ihlanu

  • strednéPovrch ihlanu (stredné) • GBZTypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéPovrch ihlanu (ťažké) • GEDTypicky zaberie: 5 min

Povrch hranatých telies

  • strednéPovrch hranatých telies (stredné) • GB1Typicky zaberie: 5 min

Povrch valca

  • ľahkéPovrch valca (ľahké) • GD6Typicky zaberie: 5 min
  • strednéPovrch valca (stredné) • GD4Typicky zaberie: 5 min
  • ťažkéPovrch valca (ťažké) • GB3Typicky zaberie: 5 min

Povrch kužeľa

  • strednéPovrch kužeľa (stredné) • GEATypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéPovrch kužeľa (ťažké) • GB6Typicky zaberie: 5 min

Povrch gule

  • strednéPovrch gule (stredné) • GECTypicky zaberie: 5 min
  • ťažkéPovrch gule (ťažké) • GB4Typicky zaberie: 5 min

Povrch okrúhlych telies

  • ťažkéPovrch okrúhlych telies (ťažké) • GB2Typicky zaberie: 5 min

Objem, povrch: mix

  • Objem, povrch: vzorce, princípy stredné
  • Objem, povrch: vzorce, princípy (stredné) • FH6Typicky zaberie: 7 min
  • ťažkéObjem, povrch: vzorce, princípy (ťažké) • FKHTypicky zaberie: 5 min
  • Objem, povrch: kváder, hranol, ihlan stredné
  • Objem, povrch: kváder, hranol, ihlan (stredné) • FK1Typicky zaberie: 15 min
  • Objem, povrch: guľa, valec, kužeľ ťažké
  • Objem, povrch: guľa, valec, kužeľ (ťažké) • FLVTypicky zaberie: 5 min

Uhly vo štvoruholníku

  • strednéUhly vo štvoruholníku (stredné) • FOBTypicky zaberie: 10 min

Uhly a mnohouholníky

  • strednéUhly a mnohouholníky (stredné) • FOCTypicky zaberie: 8 min

Uhly a kružnice

  • strednéUhly a kružnice (stredné) • FK2Typicky zaberie: 9 min

Radiány

  • ľahkéRadiány (ľahké) • GCKTypicky zaberie: 5 min
  • strednéRadiány (stredné) • F97Typicky zaberie: 4 min
  • ťažkéRadiány (ťažké) • GCLTypicky zaberie: 5 min

Geometrické konštrukcie

  • Geometrické konštrukcie: značenie ťažké
  • Geometrické konštrukcie: značenie (ťažké) • FOTTypicky zaberie: 14 min
  • Polpriamky a polroviny stredné
  • Polpriamky a polroviny (stredné) • FNSTypicky zaberie: 5 min

Zhodnosť

  • ľahkéZhodnosť (ľahké) • G1BTypicky zaberie: 5 min
  • strednéZhodnosť (stredné) • FP3Typicky zaberie: 7 min

#