Tento článok sa zaoberá problematikou výpočtu obvodov a obsahov gule, pričom sa zameriava na vzťahy medzi rotačným valcom a guľou, ktorá je mu opísaná. Vysvetlíme si základné pojmy, vzorce pre výpočet objemu a povrchu valca a gule, a nakoniec sa pozrieme na špecifický prípad, keď je guľa opísaná rotačnému valcu.
Základné pojmy
Pre lepšie pochopenie problematiky je dôležité definovať si základné geometrické pojmy:
- Rotačný valec: Teleso, ktoré vznikne rotáciou obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.
- Guľa: Teleso, ktorého povrch tvoria všetky body v priestore, ktoré sú rovnako vzdialené od daného pevného bodu (stredu gule). Vzdialenosť od stredu ku ktorémuľvek bodu na povrchu gule sa nazýva polomer (r).
- Opísaná guľa: Guľa, ktorá obsahuje všetky vrcholy daného telesa (v našom prípade rotačného valca) na svojom povrchu.
Vzorce pre rotačný valec
Pre rotačný valec s polomerom podstavy r a výškou v platí:
- Objem (V): V = Sp * v, kde Sp je obsah podstavy. Keďže podstava je kruh, Sp = πr². Teda, objem valca je V = πr²v.
- Povrch (S): S = 2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy a Spl je obsah plášťa. Obsah podstavy je πr², a obsah plášťa je obvod podstavy krát výška, teda 2πrv. Teda, povrch valca je S = 2πr² + 2πrv = 2πr(r + v).
Vzorce pre guľu
Pre guľu s polomerom R platí:
- Objem (V): V = (4/3)πR³
- Povrch (S): S = 4πR²
Vzťah medzi rotačným valcom a opísanou guľou
Ak je guľa opísaná rotačnému valcu, znamená to, že všetky vrcholy valca ležia na povrchu gule. V tomto prípade existuje geometrický vzťah medzi polomerom valca (r), výškou valca (v) a polomerom gule (R).
Prečítajte si tiež: Hlad a chudoba na Slovensku
Výpočet polomeru opísanej gule
Predstavme si rez valca a gule rovinou, ktorá prechádza stredom gule a osou valca. V reze dostaneme kruh (rez gule) a obdĺžnik (rez valca). Uhlopriečka tohto obdĺžnika je priemer kruhu (2R). Polovica tejto uhlopriečky je polomer gule (R).
Podľa Pytagorovej vety platí:
(2R)² = v² + (2r)²
4R² = v² + 4r²
R² = (v² + 4r²) / 4
Prečítajte si tiež: Recepty na slávnostný obed
R = √((v² + 4r²) / 4) = √(v² + 4r²) / 2
Tento vzorec nám umožňuje vypočítať polomer gule, ktorá je opísaná rotačnému valcu, ak poznáme polomer a výšku valca.
Príklad
Majme rotačný valec s polomerom podstavy r = 3 cm a výškou v = 8 cm. Potom polomer gule, ktorá je opísaná tomuto valcu, vypočítame nasledovne:
R = √(8² + 4 * 3²) / 2 = √(64 + 36) / 2 = √100 / 2 = 10 / 2 = 5 cm
Teda, polomer opísanej gule je 5 cm.
Prečítajte si tiež: Príklady krátenia stravného
História výpočtov objemov a povrchov
Výpočty objemov a povrchov telies majú bohatú históriu, ktorá siaha až do staroveku.
Staroveký Egypt
Egyptská civilizácia patrí medzi najstaršie. Jej vývoj bol dlhé storočia ovplyvňovaný teplým podnebím, púšťou a záplavami Nílu. Práve vymeriavanie pozemkov, ktoré boli každoročne zaplavované Nílom, viedlo k potrebám geometrie (gé - zem, metrein - merať) a k prvým geometrickým výpočtom egyptskej matematiky. Najstaršie zachované matematické texty sú Londýnsky papyrus (Rhindov), Moskovský papyrus (Goleniščevov), Káhúnske papyrusy, drevené tabuľky nájdené v Achmíme, kožený zvitok uložený v Britskom múzeu a Berlínsky papyrus. Ich samotná existencia svedčí o tom, že už 2000 rokov pred n. l. Úlohy o obsahu kruhu sú uvedené na Londýnskom papyruse, kde d je priemer kruhu. Na výpočet objemu používali štandardný postup - obsah kruhovej podstavy vynásobili výškou. Zaujímavé je, že v zachovaných textoch nenájdeme úlohy na obvod kruhu a iba jednu úlohu, ktorú možno interpretovať ako výpočet štvrtiny plášťa valca s daným priemerom a výškou. Taktiež nevieme ako a či vôbec, Egypťania počítali objem a povrch kužeľa a gule.
Staroveká Mezopotámia
V starovekej Mezopotámií, území medzi Eufratom a Tigrisom, dosiahla matematika vysoký stupeň rozvoja už 2000 rokov pred n. l. Zachovalo sa veľké množstvo tabuliek, ktoré sú uložené na rôznych miestach na svete, z toho tabuliek s matematickými úlohami bolo rozlúštených asi 400. K vypočítaniu obsahu kruhu S, kde o je obvod kruhu, ktorý bol počítaný pomocou vzorca: o = π.d ,v ktorom π je konštanta. Objem valca V počítali "štandardným spôsobom", t. j. vynásobili obsah podstavy S výškou telesa h. Na rozdiel od zachovaných egyptských textov, v babylonských zápisoch nájdeme aj úlohy vypočítať objem zrezaného kužeľa, kde o1, o2 sú obvody, S1, S2 sú obsahy podstáv a h je výška. O iných telesách, resp.
Staroveká Čína
Najstaršie správy o čínskej matematike sú z polovice druhého tisícročia pred n. l. a týkajú sa predovšetkým skúmania kalendára. Výpočty zodpovedajúce problémom s delením roku na malé a veľké mesiace, či s dĺžkou lunárneho a tropického roku, predpokladali dobré aritmetické vedomosti. Napriek tomu, však až do začiatku nášho letopočtu nemáme dostatočne podrobné údaje o vývoji čínskej matematiky. Prvé zachované čisto matematické dielo je „Matematika v deviatich knihách“. Obsahuje bohatý súhrn vedomostí, ktoré charakterizujú stav matematiky 200 rokov pred n. l. V prvej knihe „Matematiky v deviatich knihách“ sa nachádzajú pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov, medzi inými aj kruhu, kruhového výseku, odseku a medzikružia. Pri výpočtoch o obsahu kruhu používali hodnotu π=3. Táto istá hodnota sa vyskytuje aj pri výpočtoch objemov valca, kužeľa a zrezaného kužeľa.
Staroveká India
Matematika sa v starovekej Indii považovala za jednu z najdôležitejších vied. Najstaršie poznatky o indickej matematike siahajú do obdobia vzniku posvätných nábožensko-filozofických kníh „Vedomosti“. Najstarším dielom v súvislosti s matematikou bolo „Šalvasútra“ - Matematika v knihách, ktoré vzniklo v 7. - 5. storočí pred n. l. V súvislosti s poznatkami o kruhu a niektorých rotačných telesách je významné dielo „Árjabhattíja“ z roku 499 (veršovaný astronomický a matematický traktát), ktorého autorom bol 23 ročný Árjabhatta I. Popri niektorých dômyselných postupoch v tomto diele uviedol aj pravidlá na počítanie obsahov rovinných útvarov a objemov telies. Zaujímavá je závislosť medzi obsahom kruhu S, jeho obvodom o a priemerom d: a aj nesprávny vzorec pre výpočet objemu gule , ktorý je vyjadrený pomocou obsahu S hlavného kruhu (Pozn: kruh na guli so stredom v jej strede, napr. na zemeguli je to rovník a každý poludník). Vzorec na výpočet objemu gule, bol po Árjabhattovi neskôr značne vylepšený a opravený, čo viedlo aj k presnejšej aproximácii hodnoty π.
Antické Grécko
Významný kvalitatívny zlom v porovnaní s matematikou v starovekom Egypte a Mezopotámií nastal v antike, kedy na pobreží Malej Ázie začala byť matematika vedou. Kým predgrécka matematika bola prevažne aritmetická a výpočtová, v Grécku došlo ku jej geometrizácii a všetky úlohy sa riešili využívaním poznatkov elementárnej geometrie. Ranné obdobie gréckeho myslenia začína Milétskou školou, ktorej zakladateľom a najvýznamnejším predstaviteľom bol TÁLES, ktorý geometrické poznatky priniesol z Egypta a patril medzi prvých učencov, ktorí svoje tvrdenia (elementárnej geometrie) dokazovali logickou argumentáciou. HIPPOKRATES (460 - 370 pred n. DEMOKRITOS Z ABDÉR (asi 460 - 370 pred n. Pri určovaní objemov a obsahov vychádzal z toho, že body sú priestorové atómy, ktoré majú konečný objem. Predstavoval si, že telesá sú zložené z „rovnobežných dosiek“ vysokých jeden atóm. Z toho usudzoval, že dve telesá zložené z rovnakých „doštičiek“ v rovnakých výškach od podstavy majú rovnaký objem. Tento princíp podrobnejšie rozpracoval v 17. Demokritos vedel, že trojboký ihlan je možné doplniť na hranol s rovnakou podstavou a výškou. Tento hranol sa skladá z troch rovnakých trojbokých ihlanov. Preto objem trojbokého ihlana je rovný jednej tretine objemu hranola s rovnakou podstavou a výškou. Demokritos zovšeobecnil toto tvrdenie na ihlany a hranoly s mnohouholníkovými podstavami. ARCHYTAS Z TARENTU (asi 428 - 365 pred n. l.; politik, učenec, pytagorejský filozof, priateľ PLATÓNA, učiteľ EUDOXA, autor niektorých matematických fundamentálnych prác a aplikácií výsledkov v hudbe, astronómii a mechanike. Jeho výsledky z aritmetiky a teórie čísel možno nájsť v VIII. Knihe Euklidových Základov). V riešení delského problému o zdvojnásobení kocky použil tri rotačné plochy: rotačnú valcovú plochu, anuloid a rotačnú kužeľovú plochu (prienik valcovej plochy s anuloidom je v danom prípade tzv. EUDOXOS Z KNIDU (asi 408 - 355 pred n. Rozpracoval metódu, ktorú nazývame Eudoxova vyčerpávajúca (exhaustačná) metóda a je založená na nekonečnom delení veličiny. Týmto spôsobom napr. EUKLIDES (žil okolo r. 300 pred n. l. ARCHIMEDES (287 - 212 pred n. V spise O metóde sa venoval o. i. výpočtom objemov rotačných telies a ich častí. Dokázal, že objem rotačného valca opísaného guli (resp. rotačnému elipsoidu) sa rovná 3/2 - násobku objemu gule (resp. elipsoidu), odvodil výsledky pre objemy odsekov rotačných telies rovinou kolmou na os pre guľu, rotačný elipsoid, paraboloid i rotačný dvojdielny hyperboloid, určil objem rotačného valca a telesa, ktoré z neho oddelí rotačný valec s tým istým polomerom, osou rôznobežnou s osou daného valca a na ňu kolmou. V spise O valci a guli Archimedes dokázal, že i pomer prvkov rotačného valca (opísaného guli) a tejto gule sa rovná 3:2. Tento výsledok bol na Archimedovo želanie vytesaný do jeho náhrobného pomníka. Píše o ňom CICERO, ktorý našiel podľa toho spustnutý hrob roku 75 pred n. l., keď pôsobil ako kvestor Sicílie v Syrakúzach. APOLLOINOS (okolo 262 pred n. l. - 190 pred n. Najvýznamnejším Apolloniovým dielom sú Kužeľosečky. HIPPARCHOS (asi 190 pred n. l. - asi 125 pred n. l. Podľa výpovedí nasledovníkov vynašiel stereografickú projekciu guľovej plochy, čo je stredový priemet guľovej plochy z jej bodu do dotykovej roviny plochy v bode, ktorý je súmerne združeným bodom plochy so zvoleným stredom premietania podľa stredu plochy. Hipparchove výsledky pretlmočil pravdepodobne PTOLEMAIOS (okolo 85 - okolo 165 n.