Geometria je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá štúdiom tvarov, veľkostí a priestorových vzťahov medzi objektami. Rozvíja našu priestorovú predstavivosť a hrá dôležitú rolu v každodennom živote - pomáha nám chápať a popisovať svet okolo nás, od merania vzdialeností až po architektonické návrhy budov. Na rozdiel od bežného jazyka, kde majú slová väčšinou niekoľko významov, v matematike používame pojmy s presne definovaným významom. To je veľmi užitočné, pretože sa vďaka tomu môžeme vyjadrovať stručne a pritom jednoznačne.
Priestorová predstavivosť
Priestorová predstavivosť nám pomáha vnímať a rozumieť tvarom okolo nás, či už na papieri alebo v skutočnom svete. Využívame ju bez toho, aby sme si to uvedomili, v každodennom živote - pri orientácii v meste, v prírode, pri práci s mapou aj pri pohľade do zrkadla. Pri dopĺňaní v rovine budeme pracovať nie len so základnými rovinnými útvarmi, ale aj s ich kombináciami - hviezdy, domčeky, siete. Pri riešení úloh je vhodné si, v duchu alebo na papieri, predstaviť, ako má výsledný tvar vyzerať. Pri otočení ani preklopení nemenia jednotlivé časti objektov svoje vzájomné polohy. Prevrátenie je osová súmernosť. Pri zobrazení 3D objektov často využívame pravouhlé premietanie z prednej, bočnej a hornej strany, tzv. Nárys, bokorys a pôdorys sa používajú k dvojrozmernému zakresleniu trojrozmerného objektu pomocou pravouhlého premietania. Sieť telesa je rovinné zakreslenie, z ktorého je možné poskladať plášť telesa. Sieť telesa je väčšinou možné zakresliť mnohými rôznymi spôsobmi.
Geometrické pojmy a útvary
Rovinné útvary sú množiny bodov v rovine, ide teda o dvojrozmerné útvary. Priestorové útvary sú množiny bodov v priestore, ide teda o trojrozmerné útvary.
Trojuholník
Trojuholník je základný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy a tri strany. Výška v_a je vzdialenosť bodu A od priamky, na ktorej leží strana a. Teda je to vzdialenosť bodu A od päty kolmice na priamku BC vedenú bodom A. Pojmy súvisiace s trojuholníkom (napr. ťažnice, výšky, vpísané a opísané kružnice) a konštrukčné úlohy s trojuholníkmi (narysovanie trojuholníkov na základe zadaných údajov, napr. dĺžky strán, veľkosti uhlov) sú dôležitou súčasťou geometrie.
Pytagorova veta
Pytagorova veta popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka. Veta znie: Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov nad obomi jeho odvesnami. Dĺžka odvesny c = \sqrt{a^2 + b^2}. Dĺžka prepony a = \sqrt{c^2-b^2}. Pytagorejské trojice sú trojice celých čísel, ktoré spĺňajú a^2+b^2=c^2, teda trojuholník s príslušnými dĺžkami strán je pravouhlý. Ďalšie príklady pytagorejských trojíc: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Medzi pytagorejské trojice patria tiež všetky násobky týchto trojíc, napr. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). V prípade štvorca so stranou a tvorí uhlopriečka preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkou a. Pre dĺžku uhlopriečky u teda platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. V prípade rovnostranného trojuholníka so stranou a tvorí výška odvesnu pravouhlého trojuholníka s preponou s dĺžkou a a odvesnou s dĺžkou \frac{a}{2}. Pre dĺžku výšky v teda platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostávame v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}.
Prečítajte si tiež: Sprievodca porciovaním polievky
Ďalšie rovinné útvary
Obdĺžnik patrí medzi štvoruholníky. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné. Kružnica s daným stredom S a polomerom r je tvorená všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené presne o r. Kruh s daným stredom S a polomerom r je tvorený všetkými bodmi v rovine, ktoré sú od stredu vzdialené najviac o r. Kruh s daným stredom a polomerom je teda zjednotenie kružnice s rovnakým stredom a polomerom a jej vnútornou oblasťou. Stred S kruhu je bod, ktorý patrí do kruhu.
Priestorové útvary
Kocka je priestorový útvar, ktorý má šesť stien, tvar každej steny je štvorec. Všetky hrany kocky majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé, teda ich veľkosť je 90°. Kváder je tiež hranol, ale na rozdiel od kocky majú jeho steny tvar obdĺžnikov. Kváder má tri rozmery: šírku, dĺžku a výšku, ktoré nemusia byť rovnaké, ako je tomu v prípade kocky. Povrch kvádra vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho šiestich obdĺžnikových stien S = 2(ab + bc + ac). Hranol je priestorový geometrický útvar, ktorý má dve zhodné podstavy umiestnené v rôznych rovinách. Budeme sa zaoberať kolmými hranolmi, v ktorých sú zodpovedajúce strany podstavy vždy spojené bočnou stenou tvaru obdĺžnika alebo štvorca. Špeciálne prípady štvorbokých hranolov sú kváder a kocka. Kváder môže a nemusí byť pravidelný štvorboký hranol. Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu. Objem ihlanu V = \frac{1}{3} Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy. Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa Sp (obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu). Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov. Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov. Objem valca vypočítame podobne ako pri hranole V=Sp \cdot v, kde Sp je obsah kruhovej podstavy. Povrch valca je súčet obsahov jeho dvoch podstáv a obsahu plášťa S = 2\cdot Sp + S_{pl}. Podstavy sú v tvare kruhu a plášť môžeme rozvinúť do roviny ako obdĺžnik s rozmermi v a 2\pi \cdot r (výška valca a obvod jeho podstavy). Guľa je priestorový geometrický útvar, ktorý má tvar dokonale guľatého telesa. Všetky body na povrchu gule sú rovnako ďaleko od stredu, táto vzdialenosť sa nazýva polomer gule. Guľa nemá rohy ani hrany, čo ju odlišuje od mnohých iných geometrických útvarov. Táto jedinečná vlastnosť dáva guli významnú rolu v rôznych oblastiach, vrátane fyziky, kde sa používa napríklad na modelovanie ideálnych telies v teórii gravitácie. Kužeľ je priestorový geometrický útvar s kruhovou podstavou. Zužuje sa smerom k jednému bodu zvanému vrchol. Ide o útvar, ktorý vznikne, keď sa okolo svojej osi otáča rovnoramenný trojuholník. Povrch kužeľa získame sčítaním obsahu základne a obsahu plášťa S = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r s, kde s je tzv. Krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľového povrchu s rovinou sa nazývajú kužeľosečky.
Obsah a obvod
Obsah značíme S. Obsah vyjadruje, koľko „miesta v rovine“ útvar zaberá. Obvod značíme o. Obvod je súčet dĺžok čiar, ktoré útvar vymedzujú.
Obvod
Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán. Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Konštanta \pi sa tiež nazýva Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že nejde vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcom pre výpočet obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Majme kruh s polomerom 3 cm. Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metra.
Obsah
Trojuholník ABC: Dĺžka strany \left| AB \right| je 2. Veľkosť k nej príslušnej výšky vc je 3. Trojuholník DEF: Nevadí nám, že trojuholník na náčrtku vyzerá zvláštne natočený. Poznáme dĺžku strany \left| DE \right|, čo je 3. Veľkosť k nej príslušnej výšky vf je 4. Trojuholník GHI: Nevadí nám ani keď je päta kolmice, na ktorej leží výška, mimo stranu trojuholníka. Dĺžka strany \left| GH \right| je 1. Veľkosť k nej príslušnej výšky vi je 2. Trojuholník JKL: S pravouhlým trojuholníkom si tiež poradíme. Dĺžka strany \left| JK \right| je 4. Veľkosť k nej príslušnej výšky vl je 3 (a je to zároveň aj dĺžka strany KL nášho trojuholníka). Intuíciu za týmto vzorčekom je vidieť na nasledujúcom obrázku. Prvý trojuholník má výšku v príslušnú k strane dĺžky a. Druhý trojuholník má výšku v príslušnú k strane dĺžky c. Obvod kruhu (aj kružnice) s polomerom r je o=2\pi r. Obsah kruhu s polomerom r je S=\pi r^2. Konštanta \pi sa nazýva tiež Ludolfovo číslo. \pi je iracionálne číslo, čo znamená, že ho nie je možné vyjadriť zlomkom ani zapísať presne v desiatkovej sústave. Pri výpočte obsahu a obvodu kruhu dávame dobrý pozor na to, či vychádzame zo znalosti polomeru alebo priemeru. Základnú intuíciu za vzorcami na výpočet obsahu a obvodu kruhu približuje nižšie uvedený obrázok. Žlté štvorce majú obsah r^2. Oranžový štvorec sa skladá zo štyroch žltých štvorcov, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový štvorec, čo zodpovedá tomu, že obsah kruhu je približne 3{,}14 \cdot r^2. Obvod oranžového štvorca je 8\cdot r. Majme kruh s polomerom 3 cm. Jeho obvod je 2\pi \cdot 3 \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 \approx 18{,}8 cm. Kružnica s priemerom 2 cm má obvod \pi \cdot 2 \approx 6,3 cm. Stredový kruh na futbalovom ihrisku má polomer 9{,}1 metru. Ak ho chceme obísť po jeho okrajovej čiare, prejdeme 2 \pi \cdot 9{,}1 \approx 57 metrov.
Prečítajte si tiež: Torty pre chlapcov a dievčatá
Objem a povrch
Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa. Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}Sp\cdot v. Platí V=Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy valca. Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy valca. Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265. Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien. Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom Sp a plášť s obsahom S{pl}, vypočítame ako S=2Sp + S{pl}. Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy Sp a obsahu jeho plášťa S{pl}. Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť, povrch je teda S=2\cdot Sp+S{pl}. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Platí S=2Sp + S{pl}, kde Sp je obsah podstav…
Uhly
Uhly sú dôležitou súčasťou geometrie. Delia sa podľa veľkosti na ostré, pravé, tupé, priame a plné. Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, vo štvoruholníku 360°.
Geometrické konštrukcie
Geometrické konštrukcie využívajú pravítko a kružidlo na vytváranie geometrických útvarov. Základné konštrukcie zahŕňajú konštrukciu rovnobežiek, kolmíc, osí uhlov a strán. Konštrukčné úlohy riešime na základe zadaných údajov, napr. narysovanie trojuholníka z troch strán.
Analytická geometria
Analytická geometria spája geometriu s algebrou. Body sú reprezentované súradnicami v rovine alebo priestore. Pomocou súradníc môžeme vypočítať vzdialenosti bodov, dĺžky úsečiek a vzájomnú polohu geometrických útvarov. Priamky a roviny sú popísané rovnicami.
Body a úsečky
Súradnice bodov v rovine a priestore nám umožňujú presne určiť ich polohu. Vzdialenosť bodov v rovine a priestore sa dá vypočítať pomocou Pytagorovej vety. Stred úsečky je bod, ktorý leží presne v strede medzi dvoma koncovými bodmi.
Prečítajte si tiež: Recepty na tortu pre chlapca a dievča
Vektory
Vektor je určený smerom a veľkosťou. S vektormi môžeme vykonávať operácie ako sčítanie, odčítanie a násobenie konštantou. Skalárny súčin vektorov nám umožňuje určiť uhol medzi nimi.
Priamky a roviny
Priamky sú určené dvoma bodmi alebo bodom a smerom. Rovnice priamok môžu byť parametrické, všeobecné alebo smernicové. Roviny sú určené tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke, alebo bodom a normálovým vektorom.
Kužeľosečky
Kužeľosečky sú krivky, ktoré vznikajú prienikom kužeľa s rovinou. Medzi kužeľosečky patria kružnica, elipsa, parabola a hyperbola.