Objem a povrch telies sú základné pojmy v geometrii, ktoré nám umožňujú určiť, koľko miesta teleso zaberá a akú plochu pokrýva jeho povrch. Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá a dá sa predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú a dá sa predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa. V tomto článku sa zameriame na vzorce a výpočty objemu a povrchu pre guľu, kužeľ a ihlan, pričom si predstavíme aj ďalšie telesá, ako kocka, kváder, valec, hranol, elipsoid, zrezaný kužeľ, zrezaný ihlan, torus, guľový odsek a guľový výsek.
Objem a Povrch Hranatých Telies: Kocka a Kváder
Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom.
Objem Kocky
Pod pojmom objem kocky chápeme veľkosť alebo kapacitu priestoru, ktoré kocka vypĺňa. Objem kocky vypočítame z dĺžky jej hrán, ktorý je rovný súčinu dĺžok všetkých troch hrán, alebo jednoduchšie povedané, vypočítame ju ako tretiu mocninu dĺžky jej hrany.
Vzorec objemu kocky:
V = a3
Kde:
Prečítajte si tiež: Kužeľ, gula a ihlan: Prehľad vzorcov
- V = objem kocky
- a = dĺžka hrany kocky
Príklad objemu kocky:
Jožko si modeloval z plastelíny. Na vymodelovanie kocky s hranou dlhou 3 cm spotreboval 27g plastelíny. Koľko gramov plastelíny bude potrebovať na vymodelovanie kocky s hranou dlhou 6 cm?
Riešenie:
Použijeme vzorec objemu kocky: V = a3Hrana kocky (a) predstavuje 3 cm.V = 33 = 27 cm3 = 27 g plastelíny.Objem kocky s hranou dlhou 6 cm: V = 63 = 216 cm3 = 216 g plastelíny
Výsledok: Na kocku s hranou 6 cm potrebuje Jožko 216 g plastelíny.
Objem Kváder
Objem kvádra vypočítame ako súčin dĺžok jeho susedných hrán.
Prečítajte si tiež: Vzťahy medzi valcom a guľou
Vzorec objemu kvádra:
V = a x b x c
Kde:
- V = objem kvádra
- a = dĺžka hrany
- b = dĺžka hrany
- c = dĺžka hrany
Príklad objemu kvádra:
Ako sa zmení objem bazéna v tvare kvádra s rozmermi 2 m, 3 m a 120 cm, ak 2 m hranu zväčšíme trojnásobne a 3 m hranu dvojnásobne?
Riešenie:
Použijeme vzorec objemu kvádra: V = a x b x cPre konzistentnosť výsledku musíme do vzorca dosadiť prevedenú tretiu hranu na metre, čiže dĺžka tretej hrany bude 1,2 m.V = 2 m x 3 m x 1,2 m = 7,2 m3Keďže máme vyriešiť ako sa zmení objem bazéna po zväčšení hrán, tak vypočítame objem s novými dĺžkami .V = 6 m x 6 m x 1,2 m = 43,2 m343,2 m3 : 7,2 m3 = 6
Prečítajte si tiež: Kompletný sprievodca zápisom ťažného zariadenia
Výsledok: Objem pôvodného kvádra je 7,2 m3 a objem zväčšeného kvádra je 43,2 m3. Objem bazéna v tvare kvádra sa zväčší 6 krát.
Povrch Kocky a Kváder
Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien.
Objem a Povrch Gule
Guľa je geometrické teleso. Skladá sa z množiny bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (od stredu gule) nie je väčšia ako polomer gule.
Objem Gule
Objem gule definujeme ako množstvo priestoru, ktoré táto guľa zaberá v trojrozmernom priestore.
Vzorec objemu gule:
V = 4/3 x π x r3
Kde:
- V = objem gule
- π = “pí” matematická konštanta (Ludolfovo číslo)
- r = polomer gule
Príklad objemu gule:
Predstavme si, že máme basketbalovú loptu s priemerom 24 cm. Chceme zistiť aký objem priestoru táto lopta zaberá.
Riešenie:
Najprv musíme vypočítať polomer. Polomer v našom prípade je 24 cm : 2 = 12 cm.Dosadíme hodnoty do vzorca gule:V = 4/3 x π x r3V = 4/3 x 3,14 x 123V ≈ 7234,56 cm3
Výsledok: Objem basketbalovej lopty predstavuje približne 7 234,56 cm3.
Povrch Gule
Povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty π ≈ 3,14 159 265.
Objem a Povrch Valca
Valec, alebo aj rotačný valec, vznikne napr. otáčaním obdĺžnika okolo jeho strany. Je to geometrické teleso. Sieť valca má 2 podstavy a plášť. Výška valca sa rovná vzdialenosti jeho podstáv a podstavy majú tvar kruhu.
Objem Valca
Objem valca je súčin obsahu podstavy a výšky valca. Platí V=Sp ⋅ v, kde Sp je obsah podstavy valca.
Vzorec objemu valca:
V = π x r2 x v
Kde:
- V = objem valca
- π = “pí” matematická konštanta (Ludolfovo číslo)
- r = polomer valca
- v = výška valca
Príklad objemu valca:
Chceme postaviť detský bazén v tvare valca. Potrebujeme vypočítať koľko objemu vody sa do neho zmestí, ak vieme, že priemer podstavy je 4 metre a hĺbka 50 cm a vodu chceme naplniť po okraj.
Riešenie:
Vypočítajme najprv polomer valca. Ak priemer je 4 metre, tak polomer je 2 metre. Ďalej pre konzistentnosť výsledku premeníme 50 cm na metre, čiže 0,5 m.Dosadíme do vzorca objemu valca:V = π x r2 x vV = 3,14 x 22 x 0,5V ≈ 6,28 m3
Výsledok: Do detského bazéna sa zmestí približne 6,28 m3 vody.
Povrch Valca
Platí S=2Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy valca a Spl obsah plášťa valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2πr.
Objem a Povrch Kužeľa
Kužeľ (rotačný kužeľ) je geometrické teleso, ktoré vzniká otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jednej jeho odvesny. Sieť valca má podstavu a plášť. Výška kužeľa je vzdialenosť vrcholu kužeľa od jeho podstavy, podstavou kužeľa je kruh a plášť je časťou kruhu.
Objem Kužeľa
Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} Sp \cdot v, kde Sp je obsah podstavy valca. Objem kužeľa sa rovná jednej tretine zo súčinu obsahu podstavy a výšky.
Vzorec objemu kužeľa:
V = ⅓ x π x r2 x v
Kde:
- V = objem kužeľa
- π = “pí” matematická konštanta (Ludolfovo číslo)
- r = polomer podstavy
- v = výška kužeľa
Príklad objemu kužeľa:
Predstavme si, že Jožko vyrába pudingové poháre v tvare kužeľa. Potrebuje zistiť, koľko pudingu sa zmestí do jedného pohára, aby vedel, koľko ho musí pripraviť. Predpokladajme, že podstava pohára má 8 cm a výška pohára je 16 cm a Jožko pudingy dáva po okraj.
Riešenie:
Najprv si vypočítame polomer ako polovicu priemeru, tzn. polomer je 4 cm.Dosadíme do vzorca na výpočet objemu kužeľa:V = ⅓ x π x r2 x vV = ⅓ x 3,14 x 42 x 16V ≈ 267,95 cm3
Výsledok: Jožko potrebuje vyrobiť 267,95 cm3 pudingu do každého pohára, čo je zároveň 267,95 mililitra.
Povrch Kužeľa
Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s. Potom si stranu môžeme dopočítať ako preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkami v a r.
Objem a Povrch Ihlanu
Ihlan je geometrické teleso ohraničené jedným n-uholníkom a n trojuholníkmi; n-uholník sa nazýva podstava, trojuholníky bočné steny. Ak má ihlan n bočných stien (ak jeho podstava je n-uholník), hovoríme o n-bokom ihlane. Trojboký ihlan nazývame štvorsten. Ak jeho podstava a ostatné steny trojbokého ihlana sú zhodné rovnostranné trojuholníky, nazývame ho pravidelný štvorsten. Sieť ihlana má jednu podstavu a plášť. Výška ihlana je vzdialenosť vrcholu ihlana od jeho podstavy. Podstavou môže byť trojuholník, štvorec, obdĺžnik, päťuholník, šesťuholník,… Ak je podstavou pravidelný útvar, získame pravidelný ihlan. Plášť ihlana tvoria bočné steny, sú to trojuholníky.
Objem Ihlanu
Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Objem ihlana sa rovná jednej tretine zo súčinu jeho podstavy a dĺžky výšky.
Vzorec objemu ihlana:
V = ⅓ x Sp x v
Kde:
- V = Objem ihlana
- Sp = obsah podstavy
- v = výška ihlana
Príklad objemu ihlana:
Sochár modeluje sochu v tvare ihlanu s rovnostrannou trojuholníkovou základňou. Potrebuje zistiť, koľko betónu bude potrebovať pre vyrobenie tejto sochy. Predpokladajme, že dĺžka strany trojuholníkovej podstavy je 2 metre a výška sochy (ihlana) je 4 metre.
Riešenie:
Najprv potrebujeme vypočítať obsah podstavy. Keďže ide o rovnostranný trojuholník tak vzorec pre výpočet jeho plochy Sp je: Sp = √3 / 4 x a2Kde “a” je dĺžka strany rovnostranného trojuholníka, v našom prípade 2 metre.Sp = √3 / 4 x 22Sp = √3 / 4 x 4Sp = √3 m2Obsah podstavy dodáme do vzorca pre výpočet objemu ihlanu.V = ⅓ x Sp x vV = ⅓ x √3 x 4V = 4/3 x √3 m3V ≈ 4/3 x 1,732 m3V ≈ 2,309 m3