Geometria telies, a zvlášť konštrukcia rezov, predstavuje dôležitú oblasť matematiky s rozsiahlymi aplikáciami v technickej praxi, architektúre a dizajne. Zostrojenie rezu telesa je v podstate nájdenie prieniku roviny s daným telesom. Tento prienik je vždy mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany tvoria okraje rezu, teda čiary, pozdĺž ktorých rovina pretína steny telesa. V tomto článku sa zameriame na riešené príklady rezov telies, s dôrazom na kocku a rovnobežnosten.
Základné princípy konštrukcie rezov
Pri konštrukcii rezov využívame niekoľko základných geometrických princípov:
- Priamka určená dvoma bodmi: Ak dva rôzne body ležia v rovine, potom aj priamka, ktorá nimi prechádza, leží v tejto rovine. To znamená, že ak poznáme dva body v stene telesa, ktoré ležia v rovine rezu, môžeme nakresliť ich spojnicu, ktorá predstavuje časť rezu v danej stene.
- Rovnobežné roviny a ich prieniky: Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach. Tento princíp je užitočný pri hľadaní ďalších hrán rezu, ak už máme časť rezu zostrojenú.
- Prienik troch rôznobežných rovín: Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín. Tento princíp sa využíva na nájdenie spoločných bodov rovín a následne na zostrojenie priesečníc.
Rez kocky
Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť.Majme kocku ABCDEFGH a rovinu rezu definovanú tromi bodmi K, L, M, ktoré ležia na hranách kocky. Našou úlohou je zostrojiť rez kocky rovinou KLM.
Postup konštrukcie rezu kocky
- Identifikácia bodov v stenách: Zistíme, v ktorých stenách kocky ležia body K, L, M. Napríklad, bod K leží v hornej stene EFGH, bod L leží v dolnej stene ABCD a bod M leží v prednej stene ABFE.
- Spojnice bodov v jednej stene: Ak dva body ležia v jednej stene kocky a zároveň v rovine rezu, spojíme ich priamkou. Táto priamka je časťou rezu v danej stene. Napríklad, ak body K a M ležia v prednej stene ABFE, spojíme ich priamkou KM. Rovnako tak, ak body L a M ležia v dolnej stene ABCD, spojíme ich priamkou LM.
- Využitie rovnobežnosti: Keďže horná stena EFGH je rovnobežná s dolnou stenou ABCD, rovina rezu pretína tieto steny v rovnobežných priamkach. Ak už máme zostrojenú priamku rezu v jednej z týchto stien (napríklad LM v dolnej stene), môžeme zostrojiť rovnobežnú priamku v hornej stene, ktorá prechádza bodom K. Táto rovnobežka nám určí ďalšiu hranu rezu.
- Predĺženie priamok a hľadanie priesečníkov: Predĺžime priamky, ktoré sme zostrojili v jednotlivých stenách kocky, až kým sa nepretnú s hranami kocky. Tieto priesečníky sú ďalšie body, ktoré ležia v rovine rezu.
- Spojenie ďalších bodov: Spojíme novo nájdené body, ktoré ležia v jednej stene kocky. Opäť platí, že ak dva body ležia v jednej stene a v rovine rezu, ich spojnica je časťou rezu.
- Dokončenie rezu: Pokračujeme v predchádzajúcich krokoch, kým nezískame uzavretý mnohouholník, ktorý predstavuje rez kocky. Dôležité je, aby všetky vrcholy mnohouholníka ležali na hranách kocky a všetky strany mnohouholníka ležali v stenách kocky.
Príklad
Predpokladajme, že máme kocku ABCDEFGH a body K, L, M, kde K leží na hrane EF, L leží na hrane BC a M leží na hrane AE.
- Body M a K ležia v rovine ABFE, preto ich spojíme priamkou MK.
- Body L a M neležia v jednej stene, preto hľadáme ďalšie body rezu.
- Predĺžime priamku MK, až pretne priamku AB v bode N.
- Bod L leží v dolnej stene a bod N tiež leží v dolnej stene (na predĺžení hrany AB), preto ich spojíme priamkou NL.
- Priamka NL pretne hranu CD v bode O.
- Bod O leží v zadnej stene CDHG. Hľadáme ďalší bod v zadnej stene.
- Keďže MK a NL sú dve priamky v rovine rezu, ich priesečník (ak existuje) leží na osi kolineácie rovín ABFE a ABCD.
- Spojíme body O a K, ktoré ležia v zadnej stene CDHG. Priamka OK pretne hranu GH v bode P.
- Spojíme body P a K, ktoré ležia v hornej stene EFGH.
- Spojíme body L a O, ktoré ležia v dolnej stene ABCD.
- Mnohouholník MKLOP je rez kocky rovinou KLM.
Rez rovnobežnostena s podstavou pravidelného šesťuholníka
Majme rovnobežnosten s podstavou pravidelného šesťuholníka ABCDEF a hornou podstavou A'B'C'D'E'F'. Nech rovina rezu je definovaná tromi bodmi: P na hrane AA', Q na hrane CC' a R na hrane EE'.
Prečítajte si tiež: Obvody a obsahy gule: Kompletný prehľad
Postup konštrukcie rezu rovnobežnostena
- Spojenie bodov na susedných stenách: Spojíme body P a Q, ktoré ležia na susedných stenách rovnobežnostena. Priamka PQ pretína stenu BB'C'C.
- Nájdenie ďalších bodov na stenách: Predĺžime priamku PQ, až pretne hranu BB' v bode S.
- Spojenie bodov na protiľahlých stenách: Keďže podstavy rovnobežnostena sú rovnobežné, rovina rezu ich pretína v rovnobežných priamkach. Zostrojíme priamku rovnobežnú s PQ, ktorá prechádza bodom R. Táto priamka pretína stenu DD'E'E a FF'A'A.
- Nájdenie priesečníkov s hranami: Predĺžime priamku rovnobežnú s PQ, až pretne hranu DD' v bode T a hranu FF' v bode U.
- Spojenie bodov na hornej a dolnej podstave: Spojíme body P, U, R, T, Q a S.
- Dokončenie rezu: Mnohouholník PQRSTU je rez rovnobežnostena rovinou PQR.
Ďalšie metódy konštrukcie rezov
Okrem metódy spájania bodov a využitia rovnobežnosti existujú aj ďalšie metódy na konštrukciu rezov telies:
- Metóda samodružného bodu: Táto metóda sa používa, keď sa odpovedajúce priamky musia pretínať v samodružnom bode na osi kolineácie.
- Osová afinita: Táto metóda sa používa pri rezoch telies, kde ležia na mimobežkách.
Prečítajte si tiež: Hlad a chudoba na Slovensku
Prečítajte si tiež: Recepty na slávnostný obed