Článok sa zaoberá problematikou gule, ktorá sa dotýka hrán kocky, pričom sa zameriava na vzorce, definície a súvislosti s rôznymi oblasťami matematiky. Cieľom je poskytnúť komplexný pohľad na túto tému, od základných definícií až po zložitejšie geometrické konštrukcie a výpočty.
Základné pojmy
Pre lepšie pochopenie problematiky je nevyhnutné definovať základné pojmy, s ktorými budeme pracovať.
- Absolútna hodnota čísla: Kladná hodnota čísla bez ohľadu na znamienko, označuje sa zvislými čiarami. Napr. |-3,5| = 3,5. Geometricky predstavuje vzdialenosť obrazu daného čísla na číselnej osi od nuly.
- Aritmetický priemer: Súčet konečnej množiny čísel vydelený ich počtom.
- Bod: Geometrický útvar, ktorý má nulový rozmer. Napr. bod v rovine A [2 ; 3], B [-5 ; 7].
- Celé čísla: Delíme na záporné a kladné. Kladné celé čísla nazývame tiež prirodzené. Číslo 0 nie je ani kladné, ani záporné.
- Centimeter (cm): Stotina metra, tiež 10 milimetrov.
- Činitele: Čísla pri násobení.
- Číselná os: Priamka s vyznačeným počiatkom 0 a jednotkou mierky 1. Kladné čísla sú vpravo od 0, záporné čísla vľavo.
- Číslice: Symboly označujúce čísla; I, V, X, L, C, D, M sú rímske číslice.
- Desatinné číslo: Číslo, ktoré môžeme zapísať v tvare desatinného zlomku.
- Definičný obor funkcie: Množina, z ktorej môžeme dosadiť do funkcie. Napr. definičným oborom môže byť množina kladných reálnych čísel.
- Delenec: Pri delení čísel je to číslo, ktoré chceme vydeliť iným číslom.
- Delenie: Jedna zo základných aritmetických operácií. Operácia inverzná k násobeniu. Napr. podiel.
- Deliteľ: Pri delení je to číslo, ktorým chceme vydeliť delenca. Napr. pri delení 2468 : 3 je 3 deliteľ.
- Delitele čísla: Všetky celé čísla, ktoré dané číslo delia bezo zvyšku. Napr. delitele 12 sú 1, 2, 3, 4, 6, 12; delitele 17 sú 1 a 17. Deliteľnosť zisťujeme podľa znakov deliteľnosti.
- Deväťuholník: Plošný útvar - mnohouholník s deviatimi stranami a desiatimi vnútornými uhlami.
- Diferencia: Rozdiel medzi dvoma po sebe idúcimi členmi aritmetickej postupnosti. Označujeme ju: d.
- Distribútívny zákon: a • (b + c) = a • b + a • c
- Dotyčnica: Priamka, ktorá sa dotýka krivky v danom bode.
- Druhá odmocnina: Napr. 3 je druhá odmocnina čísla 9, pretože 9 = 3².
- Dvojčlen: Algebraický výraz, ktorý obsahuje 2 premenné. Napr. 7x + 4y.
- Faktoriál: Súčin všetkých prirodzených čísel menších alebo rovných ako n. Označenie: n!. Napr. 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120. Špeciálne je definovaný faktoriál čísla 0: 0! = 1.
- Funkcia: Predpis, ktorý každému prvku z definičného oboru priradí prvok z oboru hodnôt. Napr. predpis y = 2x + 3 je funkciou. Ak vyberieme z definičného oboru napr. x = 5, tak funkcia nám priradí hodnotu y, teda y = 13.
- Geometria: Veda o tvaroch kriviek, rovinných obrazcov, rovín a telies.
- Geometrická postupnosť: Postupnosť, v ktorej je pomer (kvocient) medzi dvoma po sebe idúcimi členmi konštantný. Táto konštanta sa nazýva kvocient. Napr. postupnosť 64, 32, 16, 8, 4, 2 má kvocient 0,5.
- Geometrický priemer: Priemer n čísel je n-tá odmocnina súčinu týchto čísel.
- Giga: Predpona označujúca miliardu (109). Napr. gigawatt.
- Guľa: Teleso, ktorého povrch je tvorený bodmi rovnako vzdialenými od daného pevného bodu (stredu gule).
- Hektár: Plocha 10 000 štvorcových metrov.
- Hodina (h): Jednotka času. 1 hodina = 60 minút.
- Hranol: Mnohosten, ktorý má po celej dĺžke rovnaký prierez. Výška hranola je dĺžka telesa. Objem hranola sa vypočíta ako V = Sp * v, kde Sp je obsah podstavy.
- Ihlan: Teleso, ktorého steny sú trojuholníky s jedným spoločným vrcholom. Objem ihlanu sa vypočíta ako V=1/3*Sp, kde Sp je obsah podstavy. Názov ihlanu je odvodený od tvaru podstavy. Napr. trojboký, päťboký…
- Kilo: Predpona označujúca tisíc (103). Napr. kilogram (kg), kilometer (km).
- Kilogram (kg): Jednotka hmotnosti.
- Kilometer (km): Jednotka dĺžky. 1 kilometer = 1000 metrov.
- Kladné čísla: Čísla väčšie ako 0. Na číselnej osi sa nachádzajú vpravo od bodu 0.
- Kocka: Pravidelné teleso so šiestimi štvorcovými stenami.
- Kolmé priamky: Priamky, ktoré zvierajú pravý uhol, t.j. 90 stupňov.
- Komutatívnosť: Násobenie je komutatívna operácia, lebo platí a . b = b . a napr. 6 . 5 = 5 . 6. Komutatívnou operáciou je aj sčítanie.
- Kružnica: Množina bodov, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od daného pevného bodu (stredu kružnice). Polomer kružnice (r) je vzdialenosť od stredu ku kružnici. Os strán trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stred kružnice opísanej trojuholníku. Os uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stred kružnice vpísanej do trojuholníka.
- Kubické jednotky: Napr. centimeter kubický (cm3), atď. Sú jednotky objemu. 1m3 = 1 000 000cm3 = 1 000 000 000mm3.
- Kužeľ: Teleso, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jednej z jeho odvesien.
- Medzikružie: Roviny ohraničená dvomi sústrednými kružnicami.
- Mega: Predpona označujúca milión (106 ). Napr. megatón.
- Menovateľ: Časť zlomku, pod zlomkovou čiarou.
- Meter (m): Jednotka dĺžky. 1 meter = 100 centimetrov.
- Milión: Objektov.
- Milimeter (mm): Jednotka dĺžky. 1000mm).
- Minúta (min): Jednotka času. 60s).
- Minúta uhlová: Jednotka miery uhla.
- Mnohohran (mnohosten): Teleso, ktorého steny sú mnohouholníky. Pravidelný mnohosten je teleso, ktorého všetky steny sú zhodné mnohouholníky. Napr. dvadsaťsten.
- Množina: Súhrn rozličných predmetov alebo vecí. Počet prvkov množiny môže byť konečný alebo nekonečný. Napr. d; e; f} je konečná 6-prvková množina. Zápis a ∈ P znamená, že a je prvkom množiny P.
- Mocnina: Výraz aⁿ, kde a je základ mocniny a n je exponent. Exponent (n) je symbol, ktorý určuje, na koľkú je umocnený základ mocniny. Mocnenie je operácia, pri ktorej násobíme číslo (základ mocniny) samo so sebou. Napr. 24 = 2 ּ 2 ּ 2 ּ 2 = 16.
- Náhodný jav: Jav, ktorého výsledok je založený na náhode.
- Najmenší spoločný násobok (NSN): Najmenší algebraický výraz deliteľné danými algebraickými výrazmi bez zvyšku.
- Najväčší spoločný deliteľ (NSD): Najväčšie číslo, ktoré bez zvyšku delí všetky dané čísla.
- Námorná míľa: Vzdialenosť 1,85 km.
- Násobenie: Jedna zo základných aritmetických operácií. Opakované sčítanie.
- Násobok čísla: Číslo x je násobkom čísla y, ak platí x = y • z. Napr. 10 je násobkom čísla 5, pretože existuje prirodzené číslo, a to 2, že platí 10 = 2 • 5.
- Nekonečná množina: Množina, ktorá má nekonečný počet prvkov. Napr. množina všetkých prirodzených čísel N = {1; 2; 3 …} je nekonečná.
- Nepárne číslo: Číslo, ktoré nie je násobkom 2. Napríklad 7, 19, -107…
- Nepravý zlomok: Zlomok, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ. Dá sa zmeniť na zmiešané číslo.
- Nepriama úmernosť: Závislosť, pri ktorej, ak jedna veličina rastie, druhá klesá, pričom ich súčin ostáva konštantný.
- Nerovnica: Nerovnosť s neznámou.
- Nerovnosť: Vyjadrenie toho, že jedna veličina je väčšia ako druhá.
- Neúplné delenie: Napr. 25 : 8 = 3 zv. 1.
- Neznáma: Neznáme číslo, ktoré máme vypočítať, napr. x.
- Newton (N): Hlavná jednotka sily v sústave SI.
- Nula (0): 0! = 1.
- Obdĺžnik: Štvoruholník, ktorého všetky uhly sú 90º. Protiľahlé strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku. Uhlopriečky obdĺžnika sa navzájom rozdeľujú na dve rovnaké časti a rozpoľujú aj obrazec. Obsah obdĺžnika sa vypočíta ako S = a * b, kde a, b sú strany obdĺžníka.
- Objem: Číselné vyjadrenie časti priestoru, ktorú zaberá teleso. Označenie: V.
- Obor hodnôt funkcie: Množina obrazov prvkov definičného oboru funkcie.
- Obvod: Dĺžka hranice rovinného obrazca. Obvod kruhu je dĺžka kružnice ohraničujúcej daný kruh.
- Odčítanie: Jedna zo štyroch základných aritmetických operácií.
- Odmocnina: Kladné číslo x nazývame n-tá odmocnina čísla y ak y = xn. Teda ak y je n-tá mocnina čísla x.
- Opačné čísla: Dve čísla, ktoré majú rovnakú absolútnu hodnotu, ale opačné znamienko. Ak a, b sú opačné čísla platí: a + b = 0. Súčet navzájom opačných čísel je 0.
- Os úsečky: Kolmica pretínajúca úsečku v jej strede.
- Os uhla: Polpriamka, ktorá delí uhol na dva zhodné uhly.
- Osemuholník: Mnohouholník s ôsmimi stranami.
- Ostrý uhol: Uhol, ktorý má viac než 0 a menej než 90 stupňov.
- Palec: Angloamerická jednotky dĺžky. 1 palec je približne 2,54 cm. 1 stopa = 12 palcov.
- Párne číslo: Čísla, ktoré po delení 2 dávajú zvyšok 0. Sú násobkami čísla 2.
- Päťuholník: Mnohouholník s piatimi stranami.
- Percento: Časť danej veličiny k celku vyjadrený v stotinách.
- Periodické číslo: Desatinné číslo s donekonečna sa opakujúci blok desatinných číslic. Napr. 0,66666…
- Podiel: Výsledok delenia. Napr. 25 : 9 = 2, zvyšok je 16.
- Podmnožina: Množina A sa nazýva podmnožinou B, ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B.
- Podobné útvary: Útvary, ktoré majú istý tvar, ale nemusia mať tú istú veľkosť.
- Polguľa: Polovica gule.
- Polkruh: Polovica kruhu.
- Polomer (r): Vzdialenosť od stredu kružnice k bodu na kružnici.
- Pomer: Podiel dvoch čísel v tých istých jednotkách. Zlomok sa dá krátiť aj rozširovať.
- Pôdorys: Pohľad na nejaký útvar zhora.
- Pravdepodobnosť: Číslo, ktoré vyjadruje mieru možnosti nejakej udalosti. Hodnota pravdepodobnosti môže byť od 0 po 1. Pravdepodobnosť 0 = nemožný jav. Pravdepodobnosť 1 = istý jav. Pravdepodobnosť vyjadríme vynásobením pravdepodobnosti číslom 100.
- Pravouhlý uhol: Uhol, ktorý má veľkosť 90 stupňov.
- Prepona: Najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka. Odvesny sú zvyšné dve strany. Uhol oproti prepone je vždy pravý.
- Priama úmernosť: Závislosť medzi dvoma veličinami, kedy ak sa jedna zväčšuje, tak sa úmerne zväčšuje aj druhá.
- Priemer: Úsečka spájajúca dva body na kruhu alebo kružnice je tetiva prechádzajúca stredom kruhu alebo kružnice. Označenie: d. Priemer je dvojnásobkom polomeru (d = 2r).
- Prienik množín: Množina ich spoločných prvkov.
- Prirodzené čísla: Kladné čísla. Označujeme N. Vyjadrujú množstvo (počet).
- Prvočíslo: Prirodzené číslo, ktoré má len dvoch deliteľov: 1 a samo seba. Prvočísiel je nekonečne veľa. Napr. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… Jediné párne prvočíslo je 2. Najmenšie prvočíslo je 2.
- Racionálne číslo: Reálne číslo, ktoré sa dá vyjadriť v tvare zlomku, t.j. a/b, kde a, b sú celé čísla a b ≠ 0. Množinu racionálnych čísel označujeme Q.
- Reálne čísla: Racionálne a iracionálne čísla spolu.
- Rímske číslice: Systém na zapisovanie prirodzených čísel, ktoré používali Rimania. I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Čísla sa dajú zapísať kombináciou týchto symbolov.
- Rotačné teleso: Teleso vytvorené rotáciou rovinného obrazca o 360º okolo osi.
- Rovnobežné priamky: Priamky ležiace v jednej rovine, ktoré sa nikdy nestretnú (resp. v nekonečne). Sú od seba všade rovnako vzdialené.
- Rovnobežnosten: Mnohosten, ktorého všetky steny sú rovnobežníky.
- Rovnoramenný lichobežník: Lichobežník, ktorého nerovnobežné strany sú rovnaké.
- Rovnostranný trojuholník: Trojuholník, ktorého všetky strany majú rovnakú dĺžku a všetky uhly sú rovnaké.
- Rovnica: Rovnosť s neznámou.
- Rozdiel: Výsledok odčítania jedného čísla od druhého, t.j. a - b.
- Rozklad čísla: Vyjadrenie čísla ako súčinu niektorých jeho deliteľov. Prvočíselný rozklad je vyjadrenie čísla ako súčinu prvočísiel.
- Sčítanec: Z čísel pri sčítaní.
- Sčítanie: Jedna zo základných aritmetických operácií.
- Sedemuholník: Mnohouholník so siedmimi stranami.
- Sekunda (s): Jednotka času. 1 minúta má 60 sekúnd (1min = 60s).
- Stupeň uhlový: Jednotka na meranie uhlov. Označenie º. Pravý uhol má 90 º. Priamy uhol má 180 º.
- Sústava súradníc: Čísla, ktoré definujú polohu bodu v rovine alebo priestore.
- Sústava rovníc: Systém viacerých rovníc s viacerými neznámymi. Sústava sa dá riešiť viacerými metódami.
- Šesťuholník: Mnohouholník so šiestimi stranami.
- Štvorboký ihlan: Mnohosten so štyrmi trojuholníkovými stenami s trojuholníkovou podstavou.
- Štvoruholník: Mnohouholník so štyrmi stranami.
- Tona (t): Jednotka hmotnosti. 1 tona = 1000 kilogramov.
- Trojčlen: Mnohočlen, ktorý má práve 3 členy.
- Trojuholník: Mnohouholník s tromi stranami a tromi uhlami. Trojuholník sa dá rozdeliť mnohými spôsobmi. Nedá sa zostrojiť.
- Uhlopriečka: Úsečka spájajúca dva nesusediace vrcholy mnohouholníka. Z jedného vrcholu n - uholníka vychádza n - 3 uhlopriečok.
- Uhol: Odchýlky medzi dvoma priamkami pretínajúcimi sa v spoločnom bode.
- Úsečka: Časť priamky ohraničená dvoma bodmi.
- Valec: Teleso, ktorého povrch tvorí plášť a dve rovnobežné kruhové podstavy. Objem valca V = πr²v, kde r je polomer valca a v je výška valca.
- Vrcholové uhly: Uhly, ktoré majú spoločný vrchol a ich ramená sú opačné polpriamky.
- Výška trojuholníka: Vzdialenosť vrcholu trojuholníka od protiľahlej strany trojuholníka.
- Yard: Angloamerická jednotka dĺžky, ktorá sa rovná 0,914m. Tri stopy.
- Zaokrúhľovanie: Nahradenie daného čísla číslom, ktoré je mu najbližšie v závislosti na požiadavke zaokrúhlenia. Napr. zaokrúhlenie čísla 2567 na stovky je 2600.
- Znaky deliteľnosti: Pravidlá, ktoré umožňujú rýchlo určiť, či je dané číslo deliteľné iným číslom.
- Znamienko plus (+): Číslice 0, 1, 2, 3, 4, daná číslica zostáva nezmenená.
- Zámena poradia činiteľov: Súčin sa nezmení ak zameníme poradie činiteľov.
- Zámena poradia sčítancov: Súčet sa nezmení, ak zameníme poradie sčítancov.
- Záporné čísla: Čísla menšie ako 0. Na číselnej osi sa nachádzajú vľavo od bodu 0. Označujú sa znamienkom - (mínus) pred daným číslom.
- Združovanie do skupín: Rozdelenie objektov do skupín.
- Zjednotenie množín: Množinová operácia. Zjednotenie množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A alebo patriace do množiny B.
- Zlomok: Časť celku.
- Znak zlomku: Zlomková čiara.
- Zložené číslo: Každé číslo, ktoré má viac ako dva delitele.
- Zmiešané číslo: Súčet celého čísla a zlomku.
- Zvyšok po delení: Číslo, ktoré zostane po delení jedného čísla iným.
Gula dotýkajúca sa hrán kocky
Predstavme si kocku. Teraz si predstavme guľu, ktorá sa dotýka každej hrany tejto kocky. Ako by sme vypočítali polomer takejto gule? Aký je vzťah medzi polomerom gule a dĺžkou hrany kocky?
Vzťah medzi polomerom gule a hranou kocky
Ak označíme dĺžku hrany kocky ako "a", potom polomer gule "r" sa dá vypočítať nasledovne:
r = a / 2
Prečítajte si tiež: Vzťahy medzi valcom a guľou
Tento vzorec platí, pretože stred gule sa nachádza v strede kocky a dotykový bod gule s hranou kocky je stred hrany. Polomer gule je teda polovicou dĺžky hrany kocky.
Výpočet povrchu a objemu gule
Ak poznáme polomer gule, môžeme vypočítať jej povrch a objem. Povrch gule sa vypočíta podľa vzorca:
S = 4 * π * r²
Objem gule sa vypočíta podľa vzorca:
V = (4/3) * π * r³
Prečítajte si tiež: Kompletný sprievodca zápisom ťažného zariadenia
Konštrukcia rezu kocky
Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť. Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu. Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach. Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín.
Matematický náboj 2016: Príklady úloh
Nasledujúce úlohy z Matematického náboja 2016 ilustrujú rôzne aspekty geometrie a matematického myslenia.
- Úloha 1: Majme balvan v tvare kocky s objemom 216 m3. Aký je povrch balvana v m2 potom, čo z neho vysekneme blok s rozmermi 1 m × 1 m × 2 m? Riešenie: 216 m2.
- Úloha 9: Koľko rôznych rovín obsahuje práve štyri vrcholy daného kvádra? Riešenie: 12.
- Úloha 10: Malá Sandra chce nakresliť prekrásny polmesiac len pomocou pravítka a kružidla. Najprv nakreslí kruh so stredom M1 a polomerom r1 = 3 cm. Potom zapichne kružidlo do bodu M2 na obvode kruhu a nakreslí druhý kruh s polomerom r2, ktorý pretína prvý kruh v protiľahlých bodoch. Aký obsah má polmesiac A v cm2? Riešenie: 9 cm2.
- Úloha 14: Určte pomer obsahu kruhu k obsahu štvorca, ak ich obvody majú rovnakú dĺžku. Riešenie: 4 : π.
- Úloha 17: Obdĺžnik je rozdelený na dva lichobežníky deliacou čiarou x. Vzdialenosť PA je 10 cm a AQ je 8 cm. Obsah lichobežníka T1 je 90 cm2 a obsah lichobežníka T2 je 180 cm2. Aká je dĺžka deliacej čiary x v cm? Riešenie: 17 cm.
Prečítajte si tiež: Budúcnosť slovenského futbalu