Matematika nemusí byť nudná! Dôkazom sú rôzne súťaže a hry, ktoré dokážu túto vednú disciplínu priblížiť zábavnou formou. Jednou z nich je aj Matematický Náboj, ktorý prináša množstvo zaujímavých úloh. V tomto článku sa pozrieme na niekoľko z nich, vrátane úloh zameraných na geometriu, algebru a logické myslenie. Priblížime si zadania, riešenia a stratégie, ktoré k nim vedú.
Úlohy z Matematického Náboja 2019
Nasledujúce úlohy pochádzajú zo súťaže Matematický Náboj 2019.
Vekové hádanky a lineárne rovnice
Úloha 1: Pred tromi rokmi bol vek Punťovej mamy trikrát väčší ako vek Punťa. Teraz je vek Punťovho otca trikrát väčší ako Punťov. Aký je rozdiel veku Punťových rodičov?
Riešenie: Označme x súčasný Punťov vek. Potom terajší vek Punťovej mamy je 3(x − 3) + 3 = 3x − 6 a terajší vek jeho otca 3x. Rozdiel teda činí 6 rokov.
Táto úloha demonštruje použitie lineárnych rovníc na riešenie problémov s vekom. Kľúčom je správne definovanie premenných a zostavenie rovníc na základe informácií zo zadania.
Prečítajte si tiež: Všetko, čo ste chceli vedieť o čokoláde
Geometria a počítanie trojuholníkov
Úloha 2: Koľko trojuholníkov je na obrázku?
Riešenie: Všetky trojuholníky na obrázku majú v najvyššom bode spoločný vrchol. Ďalej, jedna strana každého trojuholníka musí ležať na jednej z dvoch rovnobežných čiar. Každý trojuholník je teda určený výberom jednej z dvoch horizontálnych čiar a dvoma rôznymi bodmi na tejto čiare. Keďže na každej horizontálnej čiare je po šesť bodov, dokopy máme 2 ⋅( 6 2) = 2 ⋅6 ⋅ 5 1 ⋅ 2 = 30.
Táto úloha precvičuje priestorovú predstavivosť a kombinatorické myslenie. Dôležité je nájsť systematický spôsob, ako spočítať všetky trojuholníky bez toho, aby sme niektorý vynechali alebo započítali viackrát.
Uhly v geometrických obrazcoch
Úloha 3: Bod E leží vnútri štvorca ABCD tak, že ABE je rovnostranný trojuholník. Aká je veľkosť uhla DCE v stupňoch?
Riešenie: Keďže v rovnostrannom trojuholníku má každý uhol veľkosť 60∘, máme |∢CBE| = 90∘−|∢EBA| = 30∘. Keďže |EB| = |AB| = |BC|, trojuholník CBE je rovnoramenný a teda |∢ECB| = |∢BEC| = 1 2(180∘−|∢CBE|) = 75∘. Napokon určíme veľkosť uhla |∢DCE| = 90∘−|∢ECB| = 15∘.
Prečítajte si tiež: Výroba čokolády a tuky
Táto úloha vyžaduje znalosť vlastností rovnostranných trojuholníkov a štvorcov, ako aj schopnosť pracovať s uhlami a využívať ich vzťahy.
Pravdepodobnosť a istota
Úloha 4: Trpaslík Mojo schováva veľký poklad v tmavej miestnosti, obsahujúci niekoľko označených mincí. Mince majú nasledovné označenie: jedna minca má označenie 1, dve mince označenie 2, …, osemnásť mincí má označenie 18 a devätnásť mincí 19. Mojo vyberá mincu po minci bez toho, aby bol schopný prečítať ich nápis. Aké je minimálne množstvo mincí, ktoré musí vybrať, aby si Mojo bol istý, že vybral aspoň desať mincí s rovnakým značením?
Riešenie: Ak by Mojo vybral všetky mince, ktorých je menej ako 10 a po deväť mincí z každej, ktorých je aspoň desať, tak by zobral celkovo (1 + 2 + ⋯ + 9) + 9 ⋅ 10 = 135 mincí. Preto 135 mincí stačiť nebude. Avšak ak Mojo zoberie 136 mincí tak aspoň 91 mincí musí mať označenie väčšie ako 9. Je zrejmé, že jedna z desiatich hodnôt mincí je zastúpená aspoň 10 krát. Preto je minimum 136.
Táto úloha je založená na princípe "najhoršieho prípadu". Musíme zistiť, koľko mincí musíme vybrať, aby sme si boli istí, že máme aspoň desať mincí s rovnakým označením, aj keby sme mali maximálnu smolu.
Delenie a zlomky
Úloha 5: Marek kúpil veľkú škatuľu jeho obľúbených cukríkov na Halloween, aby ich rozdal deťom. Avšak nakoľko sú to jeho obľúbené cukríky, tak zjedol polovicu ešte pred tým, ako prišlo prvé dieťa. Prvé dieťa si zobralo niekoľko cukríkov a odišlo. Potom Marek zjedol polovicu z toho, čo ostalo, kým prišlo druhé dieťa. To si tiež zobralo niekoľko cukríkov a odišlo. No a Marek zase zjedol polovicu zostávajúcich cukríkov. Potom prišlo tretie dieťa a zobralo zvyšné cukríky. Ak každé dieťa zobralo presne tri cukríky, koľko cukríkov mal Marek pôvodne?
Prečítajte si tiež: Ochutnajte Lyra čokoládu
Riešenie: Ak n je počet cukríkov v originálnom balení tak môžme zapísať rozdávanie cukríkov následovne ((n 2 − 3) ⋅1 2 − 3) ⋅1 2 − 3 = 0. Vyriešením dostaneme n = 42.
Táto úloha sa dá vyriešiť postupným odvíjaním deja od konca alebo zostavením rovnice. Dôležité je správne pochopiť, ako sa mení počet cukríkov po každej akcii.
Pytagorova veta a obsah štvoruholníka
Úloha 6: Majme štvoruholník ABCD s pravými uhlami pri vrcholoch A a C. Ďalej poznáme dĺžky týchto strán: |BC| = 6, |CD| = 8 a |DA| = 2. Aký je obsah štvoruholníka ABCD?
Riešenie: Štvoruholník si rozdelímu uhlopriečkou BD na dva pravouhlé trojuholníky. z Pytagorovej vety v trojuholníku BCD dostávame, že |BD| = 62 + 83 = 10. Podobne z Pytagorovej vety v trojuholníku ABD máme, že |AB| = |BD|2 − |AD|2 = 102 − 22 = 96 = 46. Obsah štvoruholníka vypočítame ako súčet obsahov trojuholníkov BCD a ABD a teda 1 2(6 ⋅ 8) + 1 2(2 ⋅ 46) = 24 + 46.
Táto úloha kombinuje geometrické poznatky o obsahu trojuholníka a Pytagorovu vetu. Dôležité je správne rozložiť štvoruholník na dva trojuholníky, ktorých obsah vieme jednoducho vypočítať.
Logické myslenie a čas
Úloha 7: Kancelárska tlačiareň vie tlačiť buď na jednu, alebo na obe strany papiera. Jednostranné tlačenie trvá tri sekundy na stranu, kým obojstranné trvá deväť sekúnd na list papiera. Katka chce vytlačiť článok dlhý osemnásť strán. Môže ho buď vytlačiť celý obojstranne, alebo vytlačiť nepárne strany, vložiť papiere späť do tlačiarne a vytlačiť párne strany. Rýchlo si uvedomila, že oba prístupy zaberú rovnako veľa času. Koľko sekúnd Katke zaberie vloženie strán naspäť do tlačiarne?
Riešenie: Katka chce tlačiť na deväť listov papiera. Obojstranná tlač zaberie 9 ⋅ 9 = 81 sekúnd. To je teda aj celkový čas jednostranného tlačenia spolu s vkladaním papiera späť do tlačiarne. Iba jednostranné tlačenie zaberie 2 ⋅ 3 ⋅ 9 = 54 sekúnd, teda na vkladanie Katka potrebuje 81 − 54 = 27 sekúnd.
Táto úloha precvičuje logické myslenie a prácu s časom. Dôležité je správne si uvedomiť, koľko času zaberie každá z činností a ako ich kombinácia ovplyvňuje celkový čas.
Kombinatorika a deliteľnosť
Úloha 8: Nájdite všetky 9-ciferné čísla N spĺňajúce nasledujúce podmienky:
- N obsahuje každú cifru 1,…,9 práve raz.
- Každé dvojciferné číslo tvorené dvomi po sebe idúcimi ciframi N je deliteľné 7 alebo 13.
Riešenie: Usporiadajme cifry 1,…9 do diagramu, kde šípka z x do y znamená, že dvojciferné číslo xy¯ je deliteľné 7 alebo 13.Plná šípka reprezentuje deliteľnosť 7, čiarkovaná deliteľnosť 13 a bodkočiarkovaná (iba jedna, z 9 do 1) deliteľnosť 7 aj 13. Z diagramu je ľahko viditeľné, že začínajúcim číslom musí byť 7 nasledovaná 8 a 4. Ak po 4 nasleduje 9, musia byť ďalšími ciframi 1, 3 a 5 a posledné dve cifry musia (a môžu) byť 2 a 6. Práve sme poskladali riešenie 784913526.Ak po 4 nenasleduje 9 ale 2, po 7842 máme na výber dve možnosti. Buď pokračujeme 1 a následne 3, čo nás dovedie do slepej uličky, lebo už nemáme možnosť použiť naraz cifry 5 aj 9. Alebo pokračujeme 6 a natrafíme na rovnaký problém po sérii 784263 (alebo sa zamotáme už pri 784265). Riešenie je preto iba jedno.
Táto úloha je náročnejšia a vyžaduje kombináciu logického myslenia, znalosti deliteľnosti a systematického skúšania možností. Vytvorenie diagramu môže výrazne uľahčiť hľadanie riešenia.
Pomer obsahov a geometria štvorcov
Úloha 9: Vo vnútri väčšieho štvorca sú uložené dva menšie štvorce tak, ako je na obrázku. Nájdite obsah štvorca A, ak obsah štvorca B je 48.
Riešenie: Keďže trojuholníky priľahlé ku stranám štvorca B sú rovnoramenné, tak strana štvorca B ležiaca na uhlopriečke je presne tretina tejto uhlopriečky. Teda, ak si označíme stranu veľkého štvorca ako s, tak strana štvorca B je 1 3 ⋅2 ⋅ s a strana štvorca A je 1 2 ⋅ s. z toho vyjadríme pomer obsahov vnútorných štvorcov akoObsah štvorca A je 48 ⋅9 8 = 54.
Táto úloha vyžaduje dobrú priestorovú predstavivosť a znalosť geometrických vlastností štvorcov a trojuholníkov. Dôležité je nájsť vzťah medzi stranami štvorcov A a B a následne ich obsahmi.
Priestorová predstavivosť a povrch telesa
Úloha 10: Kika má dve kocky. Prvá má hranu dĺžky 9cm a skladá sa z bielych kociek s hranou dĺžky 1cm. Druhá má hranu dĺžky 10cm a skladá sa z čiernych kociek s hranou 1cm. Kika rozložila obe kocky a poskladala z malých kociek veľkú kocku s hranou 12cm. Najmenej koľko cm2 povrchu tejto novej kocky musí byť čiernych?
Riešenie: Kika má 93 = 729 malých bielych kociek a 103 = 1000 čiernych. Na poskladanie kocky s hranou dlhou 12cm potrebuje 123 = 1728 malých kociek, pričom 103 = 1000 z nich je vnútri a ostatné majú aspoň 1 stenou na povrchu veľkej kocky. Týchto vonkajších kociek je 123 − 103 = 1728 − 1000 = 728, čo je menej ako počet malých bielych kociek. Máme preto dosť malých bielych kociek na poskladanie povrchu veľkej kocky so stranou 12cm a vieme ho spraviť celý bielu. Výsledok je teda 0.
Táto úloha precvičuje priestorovú predstavivosť a prácu s objemom a povrchom telies. Dôležité je uvedomiť si, že Kika má dostatok bielych kociek na to, aby pokryla celý povrch novej kocky.
Množiny a kombinatorika
Úloha 11: Učiteľ ohodnotil písomky z matematiky a zistil, že presne desať jeho žiakov nevie násobiť zlomky, štrnásť z nich nevie zlomky sčítavať a sedemnásť nedokáže odstrániť odmocninu z menovateľa. Ukázalo sa, že každý zo študentov neovláda aspoň jednu z týchto troch operácií a presne šiesti neovládajú ani jednu z týchto operácií. Koľko najviac študentov má učiteľ v triede?
Riešenie: Aby sme zistili presný počet študentov v triede, potrebujeme ešte informáciu o počte žiakov, ktorí neovládajú presne dve z týchto operácií pre každú dvojicu z troch operácií dokopy. Avšak, je pomerne zrejmé, že maximálny počet žiakov dosiahneme, ak nebudeme mať žiakov, ktorí neovládajú presne dve operácie. V tom prípade je počet študentov 10 + 14 + 17 − 2 ⋅ 6 = 29. Musíme dvakrát odčítať počet študentov bez všetkých operácií, keďže pri spočítavaní všetkých troch skupín sme ich zarátali trikrát.
Táto úloha súvisí s teóriou množín a Vennovými diagramami. Dôležité je správne započítať a odčítať počty žiakov, ktorí neovládajú jednu, dve alebo všetky tri operácie.
Geometria a uhly v trojuholníku
Úloha 12: Jeden z uhlov pravouhlého trojuholníka má veľkosť 23∘. Nájdi veľkosť uhla (v stupňoch) medzi ťažnicou a výškou, ktoré vychádzajú z pravého uhla trojuholníka.
Riešenie: Označme si pravouhlý trojuholník ako ABC s pravým uhlom pri vrchole A. Spojme bod A so stredom M strany BC, čím dostaneme ťažnicu. Ďalej pridajme výšku z vrchola A s pätou výšky H.Z Tálesovej vety vieme, že vrcholy trojuholníka ABC, ležia na kružnici so stredom M. Bez ujmy na všeobecnosti, nech |∢CBA| = 23∘. Nakoľko je trojuholník ABM rovnoramenný, tak aj |∢BAM| = 23∘. Taktiež, trojuholník AHC je podobný trojuholníku BAC podľa vety uu. Z toho dostávame, že |∢HAC| = 23∘. Nakoniec dopočítame, že |∢MAH| = 90∘− 2 ⋅ 23∘ = 44∘, čo je uhol, ktorý sme potrebovali zistiť.
Táto úloha vyžaduje znalosť vlastností pravouhlých trojuholníkov, ťažníc, výšok a Tálesovej vety. Dôležité je správne si nakresliť obrázok a využiť vzťahy medzi uhlami.
Algebra a riešenie rovníc
Úloha 13: Kladné celé čísla a a b spĺňajú rovnosť 20a + 19b = 365. Nájdite hodnotu výrazu 20b + 19a.
Riešenie: Zjavne a,b ≤ 20. Pričítaním b k obom stranám uvedenej rovnosti dostaneme 20(a + b) = 365 + b. Ľavá strana je deliteľná 20, takže pravá tiež. Jediné riešenie je b = 15 a pravá strana má hodnotu 380. Z rovnosti dopočítame a = 4 a hľadaným číslom je 20b + 19a = 376.
Táto úloha vyžaduje algebraické myslenie a schopnosť riešiť rovnice. Dôležité je nájsť vhodný trik, ako z danej rovnice odvodiť hodnoty a a b.
Geometria a uhlopriečky mnohouholníka
Úloha 14: Pravidelný mnohouholník, ktorý má 2018 vrcholov, má 2033135 uhlopriečok. O koľko viac uhlopriečok je v pravidelnom mnohouholníku s 2019 vrcholmi?Poznámka: Strany mnohouholníka nerátame medzi uhlopriečky.
Riešenie: Pravidelnosť mnohouholníkov tu nehrá žiadnu rolu. Môžeme si predstaviť, že 2019-uholník je možné vyrobiť z 2018-uholníka tým, že nejakú stranu rozdelíme novým vrcholom. Tento nový vrchol vytvára 2016 nových uhlopriečok s 2016 jeho nesusediacimi vrcholmi. Okrem toho, jedna nová uhlopriečka vznikne spojením susedov nového vrchola. Takže počet uhlopriečok celokm narastie o 2017.
Táto úloha vyžaduje kombinatorické myslenie a schopnosť abstraktne uvažovať. Dôležité je uvedomiť si, že pridanie jedného vrcholu do mnohouholníka vytvorí nové uhlopriečky.
Algebra a riešenie rovníc s exponentmi
Úloha 15: Nájdite všetky reálne korene rovnice (x2 − 4x + 5)x2+x−30 = 1.
Riešenie: Keďže x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 ≥ 1 tak základ je vždy kladné reálne číslo. Rovnica je splnená práve vtedy, keď je základ 1 alebo exponent je 0. V prvom prípade, x2 − 4x + 5 = 1 sa dá inak zapísať ako (x − 2)2 = 0, čoho riešenie je len x = 2. V druhom prípade, x2 + x − 30 = (x − 5)(x + 6) = 0 má dve riešenia x = 5 a x = −6. Dokopy má teda táto rovnica tri riešenia.
Táto úloha vyžaduje algebraické myslenie a schopnosť riešiť rovnice s exponentmi. Dôležité je uvedomiť si, že rovnica a^b = 1 platí vtedy, keď a = 1 alebo b = 0.
Kombinatorika a permutácie
Úloha 16: Koľko existuje takých permutácií čísel 1, 2, 3, 4, že ak vymažeme ktorékoľvek z nich, vzniknutá postupnosť čísel nie je ani rastúca, ani klesajúca? Poznámka: Permutácia je postupnosť obsahujúca každé zadané číslo práve raz.
Riešenie: Povedzme, že 1 je prvé číslo. Aby platila podmienka, že postupnosť nie je rastúca, permutácia by musela byť (1,4,3,2). Vymazanie 1 by ale vytvorilo klesajúcu postupnosť, a to by už nespĺňalo zadanie úlohy. Z toho vyplýva, že 1 nesmie byť prvá a podľa symetrie ani posledná. Podobne, 4 nesmie byť ani prvé, ani posledné číslo. To znamená, že 4 a 1 musia byť v strede, buď v poradí (1,4), alebo (4,1). Potom nám ešte ostali dve čísla 2 a 3, ktoré môžu byť na začiatku alebo na konci. Dostávame tieto štyri permutácie: (2,1,4,3),(3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1,2).
Táto úloha precvičuje kombinatorické myslenie a prácu s permutáciami. Dôležité je systematicky skúšať možnosti a vylučovať tie, ktoré nespĺňajú podmienky zadania.
Geometria a podobnosť trojuholníkov
Úloha 17: Nech ABCD je obdĺžnik so stranami |AB| = 8cm a |BC| = 6cm. Ďalej nech X a Y sú postupne priesečníky osi uhlopriečky AC so stranami AB a CD. Aká je dĺžka úsečky XY (v centimetroch)?